Bases de abiertos y bases de entornos

Es particularmente útil trabajar una topología a partir de una estructura de conjuntos que la genere. Hablamos de la base de abiertos de una topología:

(Def. Base de abiertos) Siendo $(X,\tau)$ espacio topológico, diremos que $\beta \subseteq \tau$ (crucial que $\beta$ contenga solo abiertos de $\tau$) es base de abiertos de la topología si todo abierto en $\tau$ se expresa como unión de elementos de $\beta$: $$\forall A\in \tau, \exists \{\beta_i \}_{i\in I} \subseteq \beta : A = \bigcup_{i\in I} \beta_i$$

Tener en cuenta que toda topología admite base de abiertos, pues al menos ella misma lo es. La clave está siempre en tratar de reducir y minimizar los elementos en la base de abiertos que trabajemos. Como ejemplo sencillo, podemos afirmar que una base de abiertos de la topología usual $T_u$ de $\mathbb{R}$ es conformada por bolas abiertas:  $$\beta_U := \{ B(x_0, \rho): x_0 \in \mathbb{R}, \rho>0 \} \subseteq T_u$$ , pues ella permite expresar a partir de sus elementos a cualquier abierto de $T_u$ (obsérvese que este conjunto sirve de base para todo espacio métrico realmente). Otros ejemplos evidentes vienen a ser:

• En $(\mathbb{R}, T_I)$, $\beta = \{ \mathbb{R} \}$ es la única base de abiertos.
• $\{ \{x \}: x\in U \}$ es siempre una base de abiertos de $(U,T_D)$.

El siguiente resultado muestra la evidente aparición de los elementos de una base de abiertos a la hora de estudiar propiedades en una topología:

(Caracterización de base de abiertos) Siendo $(X,\tau)$ espacio topológico y $\beta \subseteq \tau$, ocurre que $\beta$ es base de abiertos de la topología si, y solo si: $$\forall A\in \tau, \forall x\in A; \exists B\in \beta: x\in B \subseteq A$$

Demostración: La implicación $\Rightarrow$ es inmediata: Fijado $A\in \tau$ cualquiera, tenemos: $\exists \{ B_i \}_{i\in I} \subseteq \beta: A = \bigcup_{i\in I} B_i$. En particular, para todo $x\in A$, ha de existir $i\in I$ tal que $x\in B_i \in \bigcup_{i\in I} B_i = A$. Recíprocamente, todo abierto en $\tau$ se expresa como unión de abiertos. En efecto, dado $A=\{x: x\in A \}$, por hipótesis, para cada $x\in A$; encontramos $B = B_x \in \beta$ tal que $x\in B_x \subseteq A$. Se tiene: $$A \supseteq \bigcup_{x\in A} B_{x}$$ , pues cada $B_x$ está contenido en $A$; y  $$A \subseteq \bigcup_{x\in A} B_{x}$$ , ya que todo elemento $x$ de $A$ está incluido en al menos $B_x$, abierto de la unión. Sigue entonces: $$\forall A\in \tau \Longrightarrow A = \bigcup_{x\in A} B_x \quad \text{, tal que } \{B_x : x\in A \} \subseteq \beta$$ , y por lo tanto $\beta$ es base de abiertos de $(X,\tau)$.

$\square$

Lo anterior motiva a considerar la definición de entorno de un punto:

(Def. Entorno) Sea $(X,\tau)$ espacio topológico, decimos que $U \subseteq X$ es entorno de $x\in X$ cuando existe un abierto $A\in \tau$ tal que: $x\in A \subseteq U$.

De la definición dada, se deduce que los menores entornos son precisamente conjuntos abiertos incluyendo al punto en cuestión. Es más, nos podemos centrar únicamente en los abiertos de una base cualquiera:

(Caracterización de entorno) Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y $\beta \subseteq \tau$ una base de abiertos. Fijado $x\in X$:  $$U\in \mathrm{Ent}(x) \Longleftrightarrow \exists B\in \beta: x\in B \subseteq U \subseteq X$$

Demostración: Se deja como ejercicio. La técnica es bastante similar a la demostración de la caracterización de la base de abiertos.

$\square$

Veamos algunos ejemplos de entornos:

• En la topología discreta sobre $X$, directamente $\mathrm{Ent}(x) = \{A\subseteq X:  x\in A\}, \forall x\in X$; pues los abiertos son subconjuntos de $X$.
• En la topología simétrica de $\mathbb{Z}$: $$T_S = \{ B_k : k = 0,1,2,... \} \quad , \text{ con } B_k = \{ z\in \mathbb{Z}: |z|\leq k \}$$ , los entornos de un entero $z$ son $Z\cup B_{|z|}$, pues el mínimo abierto que contiene a $z$ es precisamente $B_{|z|}$.

Terminamos definiendo bases de entornos para un punto:

(Def. Base de entornos) Sea $(X,\tau)$ espacio topológico, $x\in X$ y $\beta(x) \subseteq \mathrm{Ent}(x)$; decimos que $\beta(x)$ es base de entornos de $x$ cuando: $$\forall U\in \mathrm{Ent}(x) , \exists B\in \beta(x): B\subseteq U$$

Es recomendable conocer de antemano algunas bases de entornos:

• En $(\mathbb{R}, T_u)$, $\beta(a) = \{ ]a-\rho, a+\rho[: \rho >0 \}$ es base de entornos de $a\in \mathbb{R}$.
• En $(\mathbb{R}, T_D)$, podemos asignar $\beta(x) = \{ \{  x \} \}$ como base de entornos de $x\in \mathbb{R}$.