Conexidad de espacios topológicos

Empecemos con la definición formal de espacio topológico conexo.

Definición (Espacio conexo) Diremos que un espacio topológico (X,T) es conexo sii dados A,BT tales que AB= y AB=X, necesariamente A= ó B=.

Terminaremos el capítulo probando que (R,Tu) es conexo. Sin embargo, si tomamos en consideración Y=[0,1][2,3]R con su topología relativa, el espacio topológico (Y,TY) no es conexo, pues podemos escribir: Y=[0,1][2,3]=(]2,2[Y)TY{}(]1,4[Y)TY{} Se deduce entonces que ser espacio conexo no es propiedad hereditaria. Se verifica también que (X,TD) no es conexo cuando X no es unitario, pues podemos expresar: X=X{x0}{x0} , siendo x0 un arbitrario de X. Para terminar con los ejemplos iniciales, se tiene que (X,TI) es siempre conexo, pues los únicos abiertos en la topología son X, y por ende X=X=X son las únicas posibilidades de expresar X como unión de abiertos, y vemos que siempre hay un vacío de por medio. Encontramos el siguiente teorema de caracterización de conexos:

(Teorema) Un espacio topológico (X,T) es conexo sii CTT={,X}.

Demostración"\Rightarrow " El contenido "\supseteq" es inmediato en cualquier espacio topológico. Justificamos "\subseteq " por RRAA: Supongamos A\in \mathscr{C}_T \cap T: A\notin \{\varnothing, X \}. Por ser cerrado y abierto al mismo tiempo, necesariamente A,X-A\in T; teniendo así X=A\cup (X-A) unión de abiertos no vacíos. Luego (X,T) no es conexo, lo cual contradice la hipótesis. "\Leftarrow" Partimos de \mathscr{C}_T \cap T = \{ \varnothing, X \}. Supongamos por RRAA que (X,T) no es conexo. Existen entonces A,B\in T tales que A\cup B= X y A\cap B= \varnothing. Además: B= (A\sqcup B) \setminus A = X-A \in T. Por lo tanto A\in \mathscr{C}_T \cap T \neq \{\varnothing, X \}, contradiciendo así la hipótesis.

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Confirmamos a partir de esta caracterización que (X,T_D) es únicamente conexo cuando X es unitario, pues de lo contrario \mathscr{C}_{T_D} = \{X-A: A\subseteq X \} \neq \{\varnothing, X \} y además son siempre abiertos. Trabajando con un espacio cofinito: (X,T_{\mathrm{cof}}), si X es dado finito, recordando: T_{\mathrm{cof}} = \{X-A: A \mathrm{\ finito} \} \quad , \quad \mathscr{C}_{\mathrm{cof}} = \{A\subseteq X: A \mathrm{\ finito} \} , para cualquier x_0 \in X conseguimos \{x_0 \}\in \mathscr{C}_{\mathrm{cof}} \cap T_{\mathrm{cof}}, y así (X,T_{\mathrm{cof}}) no es conexo en este caso. Si X es unitario, trivialmente T_{\mathrm{cof}} = T_I y en consecuencia sí es conexo. Finalmente, si X es infinito: dado B\in \mathrm{T}_{\mathrm{cof}} \equiv B=X-B' tal que B' es finito ó B'=X, no puede ocurrir X-B=B' sea un abierto en la topología a menos que B'\in \{\varnothing, X \}. Luego, T_{\mathrm{cof}} \cap \mathscr{C}_{\mathrm{cof}} = \{\varnothing, X \}, y (X,T_{\mathrm{cof}}) es conexo en este caso. Trabajando ahora con funciones continuas, encontramos los siguientes resultados:

(Proposición) Sea f:(X,T_X)\to (Y,T_Y) función continua y sobreyectiva. Entonces si (X,T_X) es conexo, entonces (Y,T_Y) también lo es.

DemostraciónVemos que \mathscr{C}_Y \cap T_Y = \{ \varnothing, Y \} (solo hace falta comprobar el contenido \subseteq). Sea A\in \mathscr{C}_Y \cap T_Y, ya que f es función continua: f^{-1}(A) \in \mathscr{C}_X \cap T_X. Por hipótesis de conexidad en (X,T_X), tenemos \mathscr{C}_X \cap T_X = \{\varnothing, X \}, luego: f^{-1}(A) = \varnothing \wedge f^{-1}(A) = X. El primero de los casos implica A=\varnothing. Para el segundo, podemos tomar f a ambos lados y usar: f(f^{-1}(A)) = A (dada la sobreyectividad). Así: A=f(X)=Y, ya que f es sobre. Por lo tanto \mathscr{C}_Y \cap T_Y = \{ \varnothing, Y \}, y por ende (Y,T_Y) es conexo.

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(Corolario) Si f:(X,T_X)\to (Y,T_Y) es función continua y (X,T_X) es conexo, entonces (f(X),(T_Y)_{f(X)}) es conexo. 

DemostraciónBasta con probar que f:(X,T_X) \to (f(X), (T_Y)_{f(X)}) es continua basándonos en la continuidad global. En efecto, dado A\in (T_Y)_{f(X)}, existe un B\in T_Y tal que A=B\cap f(X). Su antiimagen por f es:

f^{-1}(A) = f^{-1}(B\cap f(X)) = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(f(X))

Sin necesidad de inyectividad, se prueba fácilmente que f^{-1}(f(X))= X, y así: f^{-1}(A) = f^{-1}(B) \in T_X, dada la continuidad global de f. Por lo tanto, f restringida sobre la imagen es función continua y evidentemente sobre. Por la proposición anterior, (f(X),(T_Y)_{f(X)}) es conexo.

\square

Como consecuencia inmediata deducimos que la conexidad es propiedad topológica.


Conexidad en topologías relativas

Enunciamos y demostramos la siguiente caracterización:

(Teorema) Dado (X,T) espacio topológico e Y\subseteq X. Entonces Y es conexo con la topología relativa T_Y si, y solo si:
\forall A,B\in T \mathrm{ \ tales \ que} \ \begin{cases} Y\subseteq A\cup B \\ Y\cap A \cap B = \varnothing \end{cases} \Longrightarrow A\subseteq Y \vee B\subseteq Y

Demostración"\Rightarrow " Sean A,B\in T tales que Y es recubierto por A,B y Y\cap A \cap B = \varnothing, en concreto encontramos A'=A\cap Y, B'=B\cap Y\in T_Y verificando las hipótesis de la definición de conexidad sobre (Y,T_Y):

  • A'\cup B' = (A\cap Y) \cup (B\cap Y) = (A\cup B) \cap Y = Y, ya que partíamos de Y\subseteq A\cup B.
  • A' \cap B' = Y\cap A\cap B = \varnothing.

Así, dada la hipótesis de conexidad: A' = \varnothing \vee B' = \varnothing. Si A' = A\cap Y = \varnothing, ya que Y\subseteq A\cup B, necesariamente Y\subseteq B. De igual forma B' =  \varnothing \Rightarrow Y\subseteq A.

\square

El siguiente resultado es muy exquisito:

(Teorema) Sea (X,T) espacio topológico e Y\subseteq X. Si Z es tal que Y\subseteq Z \subseteq \mathrm{Cl}(Y) e Y es conexo, entonces Z es conexo.

DemostraciónUsaremos el resultado anterior. En particular, dados A,B\in T tales que Z\subseteq A\cup B y Z\cap A \cap B = \varnothing, queremos ver que Z\subseteq A ó Z\subseteq B. En particular, ya que Y\subseteq Z, Y viene recubierto por A y B a la vez que: Y\cap A \cap B = \varnothing. Por lo tanto, el resultado anterior induce a: Y\subseteq A ó Y\subseteq B. Supongamos ahora por RRAA:

\begin{cases} Z\not\subseteq A \\ \wedge \\ Z\not\subseteq B \end{cases} \underset{Z\subseteq A\cup B}{\Longrightarrow} \begin{cases} Z\cap B \neq \varnothing \\ \wedge \\ Z\cap A \neq \varnothing \end{cases}

Dado x\in A\cap Z \subseteq A\cap \mathrm{Cl}(Y), en particular A es abierto conteniendo a x, luego A\in \mathrm{Ent}_T (x) y ya que x\in \mathrm{Cl}(Y) \Longrightarrow A\cap Y \neq \varnothing. Si se fija x\in B\cap Z \subseteq B\cap \mathrm{Cl}(Y), se deduce también B\cap Y\neq \varnothing. Luego Y tiene puntos en A y en B, lo cual contradice que Y\subseteq A \vee Y\subseteq B.

\square

Respecto a la unión de subconjuntos conexos en la topología relativa, se verifica el siguiente enunciado:

(Proposición) Sea (X,T) un espacio topológico. Si \{Y_i \}_{i\in I} es una familia de subconjuntos conexos de X tales que Y_{i_0} \cap Y_i \neq \varnothing para cada i\in I y un i_0 \in I; entonces \bigcup_{i\in I} Y_i es conexo.

DemostraciónDenotemos Y como la unión de los Y_i trabajados, queremos trabajar con el teorema que caracteriza los conexos relativos, por lo que planteamos recubrimientos A,B\in T tales que Y\subseteq A\cup B y Y\cap A \cap B = \varnothing, queriendo ver así que Y\subseteq A ó Y\subseteq B. En particular Y_i \subseteq Y, \forall i\in I; luego cada conexo de la familia verifica ser recubierto por A y B:

Y_i \subseteq A \cup B \quad \wedge \quad Y_i \cap A \cap B =\varnothing

Así Y_i \subseteq A ó Y_i \subseteq B, para cada i\in I. Nos interesa ahora enpacar estas dos posibilidades para toda la familia, y en concreto para la unión de conexos que hemos denotado por Y. Esto nos lo va a permitir Y_{i_0}, pues si Y_{i_0} \subseteq A, ya que: Y_{i_0} \cap Y_i \neq \varnothing \Rightarrow Y_i \cap A \neq \varnothing, y ya que solo puede estar contenido en uno de los dos conjuntos: Y_i \subseteq A, \forall i\in I \Longrightarrow Y = \bigcup_{i\in I} Y_i \subseteq A. El razonamiento es análogo para Y_{i_0} \subseteq B \Longrightarrow Y\subseteq B. Queda probado que Y es conexo.

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Demostración de que (\mathbb{R},T_u) es conexo

Supongamos por reducción al absurdo que (\mathbb{R},T_u) no es conexo. Esto es, existen abiertos A,B no vacíos y disjuntos que recubren a \mathbb{R}. Podemos suponer también, sin pérdida de generalidad, elementos a\in A, b\in B tales que a<b (lo importante es que a\neq b, dada la disjunción de partida). Consideremos el conjunto:

X= \{x\in A: x<b \} \subseteq A

Obsérvese que este conjunto es no vacío (a\in X) y acotado superiormente por b, luego existe S=\sup X. En particular S\leq b (Si S>b, nos podemos acercar a la derecha del supremo y encontrar a b como elemento de A, lo cual es falso). Surgen dos casos: 

  • Si S\in A, ya que A es abierto: \exists \varepsilon >0 tal que ]S-\varepsilon, S+\varepsilon[ \subseteq A. Además: \varepsilon <b-S, de lo contrario b estaría en el intervalo. Llegamos a un absurdo, pues: S+\frac{\varepsilon}{2} \in A \quad \text{es tal que  } S+\frac{\varepsilon}{2} < S+\varepsilon < b , contradiciendo así a S=\sup X \in A.
  • Si S\in B, de nuevo: ]S-\varepsilon', S+\varepsilon'[\subseteq B para algún \varepsilon' >0. Por caracterización de supremo, encontramos z\in X\subseteq A tal que S\geq z>S-\varepsilon'. En particular: z\in A\cap B, lo cual es absurdo pues se trataba de abiertos disjuntos.

Se concluye la prueba.

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