Conjuntos notables en una topología genérica

Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y $A\subseteq X$, definimos:

Interior de $A$: $\mathrm{Int}(A) = \{ x\in A: \exists U\in \mathrm{Ent}(x) \text{ tal que } U\subseteq A \}$.

Exterior de $A$: $\mathrm{Ext}(A) = \{x\in X-A: \exists U\in \mathrm{Ent}(x) \text{ tal que } U\subseteq X-A \}$.

Frontera de $A$: $$\mathrm{Fr}(A) = \{x\in X: U\cap A \neq \varnothing \wedge U\cap (X-A) \neq \varnothing , \forall U\in \mathrm{Ent}(x) \}$$

Clausura de $A$: $\mathrm{Cl}(A) = \{ x\in X: U\cap A\neq \varnothing, \forall U\in \mathrm{Ent}(x) \}$.

Aislado de $A$: $\mathrm{Ais}(A) = \{ x\in A: \exists U \in \mathrm{Ent}(x) \text{ tal que } U\setminus \{x \} \cap A = \varnothing \}$.

Derivado (puntos de acumulación) de $A$: $$\mathrm{Der}(A) = \{ x\in X: (U\setminus \{ x \}) \cap A \neq \varnothing , \forall U\in \mathrm{Ent}(x) \}$$

A la hora de estudiar los puntos notables de un conjunto dado, interesa conocer una base de entornos para cada punto del espacio trabajado, respecto a la topología estudiada. La noción de inclusión presente en toda base de entornos (es decir, un entorno genérico de un punto ha de contener un elemento de su base de entornos por definición) permite discernir los elementos de cada uno de los conjuntos notables más fácilmente.

En la práctica, puede resultar interesante conocer y relacionar cada uno de los conjuntos expuestos. Se conocen las siguientes propiedades:

[1] (Relaciones entre los puntos notables) En un espacio topológico $(X,\tau)$ cualquiera y $A\subseteq X$:

1. $\mathrm{Int}(A) \sqcup \mathrm{Ext}(A) \sqcup \mathrm{Fr}(A) = X$.
2. $\mathrm{Cl}(A) = \mathrm{Int}(A) \sqcup \mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Ais}(A) \cup \mathrm{Der}(A)$.
3. (No muy útiles) $\mathrm{Int}(A) = \mathrm{Ext}(X-A), \mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Fr}(X-A)$.

Demostración: Se deja como ejercicio para el lector.

El estudio de los puntos notables de un conjunto puede ser relevante a la hora de discernir la naturaleza del mismo en la topología trabajada:

Proposición: En un espacio topológico $(X,\tau)$ cualquiera y $A\subseteq X$:

1. $\mathrm{Int}(A)$ es el mayor abierto contenido en $A$. Como consecuencia, $A$ es abierto en $\tau$ si, y solo si: $\mathrm{Int}(A) = A$.
2. $\mathrm{Cl}(A)$ es el menor cerrado que contiene a $A$. Como consecuencia, $A$ es cerrado en $\tau$ si, y solos si: $\mathrm{Cl}(A) = A$.
3. $\mathrm{Fr}(A) = \varnothing \Longleftrightarrow A\in \tau \cap \mathcal{C}_\tau$.

Demostración: Solo se demostrará el primer enunciado, pues (2) es corolario de (1) y (3) es relativamente fácil de demostrar (ambos se proponen como ejercicios para el lector) Comenzamos viendo que $\mathrm{Int}(A)$ es un abierto en la topología $(X,T)$. Para ello, veamos que $\mathrm{Int}(A)$ es entorno de todos sus puntos: $$\forall x\in \mathrm{Int}(A) \Longrightarrow \text{?`} \exists D\in T: x\in D\subseteq \mathrm{Int}(A)?$$ Recordemos que $\mathrm{Int}(A) = \{x\in X: \exists U\in \mathrm{Ent}(x) \ \mathrm{verificando} \ U\subseteq A \}$. Luego, para un $x\in \mathrm{Int}(A)$, encontramos un entorno $U$ de $x$ tal que $U\subseteq A$. Por tratarse de un entorno, existe un abierto $D\in T$ tal que $D\subseteq U$. Nos falta verificar que $D\subseteq \mathrm{Int}(A)$. En efecto, ya que todo abierto es entorno de sus puntos, basta con tomar $D'=D$ para satisfacer: $\forall x\in D=D', \exists D'\in \mathrm{Ent}(x): x\in D' \subseteq A$. Además, podemos escribir también: $$\mathrm{Int}(A) = \bigcup_{x\in \mathrm{Int}(A)} D_{(x)}$$ , siendo $D_{(x)}$ el abierto inducido por un $x\in \mathrm{Int}(A)$. Nos falta ver ahora que $\forall B\in T: B\subseteq A \Rightarrow \text{?`} B\subseteq \mathrm{Int}(A)?$. Sea $x\in B$, queremos ver $x\in \mathrm{Int}(A) \equiv \exists U\in \mathrm{Ent}(x): U\subseteq A$. Basta con tomar $U=B$, pues $x\in B\subseteq A$ y $B$ es un abierto, y como tal: entorno de todos sus puntos.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Demostrar la proposición [1].
1. $\mathrm{Int}(A) \sqcup \mathrm{Ext}(A) \sqcup \mathrm{Fr}(A) = X$.
2. $\mathrm{Cl}(A) = \mathrm{Int}(A) \sqcup \mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Ais}(A) \cup \mathrm{Der}(A)$.
3. $\mathrm{Int}(A) = \mathrm{Ext}(X-A), \mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Fr}(X-A)$.
2. Demostrar que la clausura topológica de un conjunto es el menor cerrado que contiene al mismo.
3. (Examen) En $(\mathbb{R},\tau_u)$ consideramos el conjunto $D=]-\infty, 0] \cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) \cup \{ (-1)^n/n : n\in \mathbb{N} \} \cup [4,8]$.
1. ¿Es $D$ cerrado?
2. Calcular el interior y el derivado de $D$.
4. (Examen) En $\mathbb{R}$ con la topología usual consideramos los subconjuntos: $$A=[0,1] \cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) \cup \left \{ \frac{1-n}{n}: n\in \mathbb{N} \right \} \cup \{1/2 \} \quad , B=\{0,1/2 \}$$ Calcular $\mathrm{Fr}(A), \mathrm{Cl}(A), \mathrm{Ais}(A)$.
5. En $\mathbb{R}^2$ se define la topología: $\tau = \{ A\subseteq \mathbb{R}^2: (x,y)\in A \Longleftrightarrow (y,x)\in A \}$. Defínanse: $$B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = x\}, C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = -x\}$$ Encuentra el interior, la clausura, y la frontera de $$D = \{(x,y)\in B\cup C : x \in [-2,3)\}$$
6. Sea la topología $\tau = \{ U \subset \mathbb{R}: U \in \tau_d, \forall x \in U, x^2 \in U \}$. Determinar:
1. $\mathrm{Int}[-1,1], \mathrm{Int}(-\infty,1), \mathrm{Int}[-2,-1]$.
2. Calcula la clausura de cualquier unitario de $\mathbb{R}$ ($\mathrm{Cl}(\{ x\}),x\in \mathbb{R}$).
7. (Algunas propiedades misceláneas) Demostrar:
1. $\mathrm{Fr}(A) = \mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(\bar{A})$.
2. Si $A,B\subseteq \mathbb{R}$ tales que $\mathrm{Cl}(A) \cap \mathrm{Cl}(B) = \varnothing$, entonces: $$\mathrm{Fr}(A\cup B) = \mathrm{Fr}(A) \cup \mathrm{Fr}(B)$$
3. $\mathrm{Cl}(\mathrm{Cl}(A)) = \mathrm{Cl}(A)$.