Continuidad y homeomorfismos de espacios topológicos.

Damos una definición inicial del concepto de continuidad.

(Def. Continuidad) Sean $(X,T_X) , (Y,T_Y)$ dos espacios topológicos y $f:(X,T_X) \to (Y,T_Y)$ aplicación. Dado $x_0 \in X$, decimos que $f$ es continua en $x_0$ si, y solo si: $$\forall V\in \mathrm{Ent}_Y (f(x_0)), \exists U\in \mathrm{Ent}_X (x_0) : f(U) \subseteq V$$ De esta forma, diremos que $f$ es función continua en $X'\subseteq X$ sii $f$ es continua en cada $x_0 \in X'$.

Equivalentemente, considerando $\beta_X (x)$ base de entornos de $x\in X$ sobre $(X,T_X)$ e.t.; y $\beta_Y (y)$ base de entornos de $y\in Y$ sobre $(Y,T_Y)$ e.t.; la anterior definición se puede reescribir como:

$$f\in \mathcal{C}(\{ x_0 \}) \Longleftrightarrow \forall V\in \beta_Y (f(x_0)), \exists U\in \beta_X (x_0) : f(U) \subseteq V$$

Trabajemos un ejemplo rápidamente: Consideremos $f:(\mathbb{R}, T_D) \to (\mathbb{R}, T_I)$ definida como $f(x) = 2x$. Para verificar la continuidad de $f$ en un $x_0 \in \mathbb{R}$ dado, debemos tener: $$\forall V\in \beta_I (f(x_0)), \exists U\in \beta_D (x_0): f(U)\subseteq V$$ En concreto: $\beta_I (f(x_0)) = \{\mathbb{R} \}$ y $\beta_D (x_0) = \{ \{ x_0 \} \}, \forall x_0 \in \mathbb{R}$. De aquí, dado un $x_0 \in \mathbb{R}$ cualquiera, el único entorno de $f(x_0) = 2x_0$ en la topología indiscreta es $\mathbb{R}$, encontrando $\{x_0 \}\in \beta_D (x_0)$ tal que $f(\{x_0 \}) := \{ f(x_0) \} \subseteq \mathbb{R}$. Sigue que $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Si por el contrario definimos $f:(\mathbb{R}, T_I) \to (\mathbb{R}, T_D)$ de la misma forma, ya que $f(\mathbb{R}) \not\subseteq \{f(x_0) \}, \forall x_0 \in \mathbb{R}$; $f$ no será continua en ningún punto.

Se ofrece el siguiente resultado para estudiar más rápidamente la continuidad de una función entre espacios topológicos.

(Proposición) Supongamos $f:(X,T_X) \to (Y, T_Y)$ aplicación. Se tiene que $f$ es continua en $X$ si, y solo si: $\forall A \in T_Y \Rightarrow f^{-1}(A) \in T_X.$

Demostración: $(" \Rightarrow ")$ Supongamos $f$ función continua en $X$ (hipótesis). Dado $A \in T_Y$, veamos que $f^{-1}(A)$ es entorno de todos sus puntos, y por lo tanto abierto en $T_X$. Sea $x\in f^{-1}(A) \Longleftrightarrow f(x) \in A$. En concreto, ya que $A$ es abierto, necesariamente $A\in \mathrm{Ent}_Y (f(x))$. Por continuidad de $f$: 

$$\exists B = B(x) \in \mathrm{Ent}_X(x): f(B)\subseteq A$$   Se puede suponer que $B$ es abierto en $T_X$, pues en  caso contrario podemos reducirlo (por la definición) hasta tal. Se tiene: $$f^{-1}(A) = \bigcup_{x\in f^{-1}(A)} B(x) \in T_X$$ $"\subseteq "$ Para cualquier $x\in f^{-1}(A)$, existe un abierto $B(x)$ de la unión que lo contiene. $"\supseteq "$ Dado $x\in f^{-1}(A)$, necesariamente $B(x) \subseteq f^{-1}(A)$, pues para todo $z\in B(x)$, ya que $f(B(x))\subseteq A \Rightarrow f(z)\in A \Longleftrightarrow z\in f^{-1}(A)$.

$("\Leftarrow ")$ Si $f$ es tal que $f^{-1}(A) \in T_X$, para cualquier abierto $A\in T_Y$; requerimos de verificar: 

$$\forall V\in \mathrm{Ent}_Y(f(x)), \exists U\in \mathrm{Ent}_X (x): f(U)\subseteq V$$

, para todo $x\in X$. Basta con considerar $U=f^{-1}(V)$. Probamos:

1.  $f^{-1}(V) \in \mathrm{Ent}_X(x)$. En efecto, $f^{-1}(V)$ se puede suponer abierto en la topología $T_X$ tal que $x\in f^{-1}(V) \Longleftrightarrow f(x) \in V$, lo cual es cierto pues este último es entorno de $f(x)$. 
2. $f(f^{-1}(V)) \subseteq V$. Comprobamos el contenido: Dado $z\in f(f^{-1}(V))$, existe entonces $y\in f^{-1}(V): f(y) = z$. A su vez: $f(y) \in V$, y así $z\in V$.

$\square$

Se puede manejar también la continuidad a partir de una caracterización por cerrados.

(Proposición) La aplicación $f:(X,T_X) \to (Y,T_Y)$ es continua en $X$ si, y solo si: $\forall C\in \mathscr{C}_Y \Longrightarrow f^{-1}(C) \in \mathscr{C}_X$.

Demostración: $("\Rightarrow ")$ Dado $C\in \mathcal{C}_Y \Longleftrightarrow Y-C\in T_Y$, nos preguntamos si $f^{-1}(C) \in \mathcal{C}_X$ a partir de la continuidad de $f$. En efecto, $X-f^{-1}(C) = f^{-1}(Y-C)$. Ya que $Y-C$ es abierto, por hipótesis (aplicando el Teorema de Caracterización de continuidad por abiertos) $f^{-1}(Y-C) \in T_X$ y por tanto $f^{-1}(C) \in \mathcal{C}_X$. $("\Leftarrow ")$ Partimos ahora de: $\forall C \in \mathcal{C}_Y \Rightarrow f^{-1}(C) \in \mathcal{C}_X$; y queremos ver que para cualquier abierto de la topología $T_Y$, su anti-imagen es un abierto de $T_X$. En efecto, dado $A \in T_Y \Longleftrightarrow Y-A\in \mathcal{C}_Y \Rightarrow_{(H)} f^{-1}(Y-A) \in \mathcal{C}_X$. Ya que $f^{-1}(Y-A) = X-f^{-1}(A) \in \mathcal{C}_X \Longleftrightarrow f^{-1}(A) \in T_X$.

$\square$

Aplicaciones abiertas y cerradas

Damos las siguientes definiciones:

(Def. Aplicación abierta/cerrada) Una aplicación $f:(X,T_X)\to (Y,T_Y)$ se dice abierta si, y solo si: $\forall A\in T_X \Longrightarrow f(A) \in T_Y$. De la misma manera, diremos que $f$ es cerrada sii $\forall A\in \mathcal{C}_X \Longrightarrow f(A) \in \mathcal{C}_Y$.

Cuando trabajamos con aplicaciones biyectivas, el estudio de este tipo de propiedades se reduce bastante:

(Proposición) Sea $f:(X,T_X) \to (Y,T_Y)$ aplicación biyectiva. Entonces son equivalentes: (I) $f$ abierta ; (II) $f$ cerrada ; (III) $f^{-1}$ continua.

Demostración: Empezamos viendo (I) $\Rightarrow$ (II). Suponemos así $f(A)\in T_Y , \forall A\in T_X$. Para ver que $f$ es aplicación cerrada, debemos verificar que $f(C) \in \mathcal{C}_Y, \forall C\in \mathcal{C}_X$. En concreto, requerimos $Y-f(C) \in T_Y$, para cualquier $C$ cerrado de la topología primera. Tenemos:

$$Y-f(C) =_{\mathrm{sobreyectividad}} f(X) - f(C) =_{\mathrm{inyectividad}} f(X-C)$$

Ya que $C$ es un cerrado en $T_X$, necesariamente $X-C\in T_X$. Aplicando la proposición dada, tenemos $f(X-C) = Y-f(C) \in T_Y$, y por lo tanto: $f(C) \in \mathcal{C}_Y$. Veamos ahora rápidamente (II) $\Rightarrow$ (III) Partimos de $f$ aplicación biyectiva cerrada: $f(C) \in \mathcal{C}_Y, \forall C\in \mathcal{C}_X$. Haremos uso de la caracterización por cerrados de la continuidad en $f^{-1}$. En concreto, requerimos verificar:

$$(f^{-1})^{-1}(C') \in \mathcal{C}_Y \quad , \forall C'\in \mathcal{C}_X$$

Se puede comprobar que $(f^{-1})^{-1}(C') = f(C')$:

$$z\in (f^{-1})^{-1}(C') \Longleftrightarrow f^{-1}(z) \in C' \Longleftrightarrow_{\mathrm{biyectividad}} z\in f(C')$$

Por lo tanto, (III) es equivalente a $f(C')\in \mathcal{C}_Y, \forall C'\in \mathcal{C}_X$, lo cual es precisamente (II). Podemos hacer uso de la caracterización por abiertos de continuidad en $f^{-1}$ para probar de la misma forma que se da (III) $\Longleftrightarrow$ (I).

$\square$

Homeomorfismos

(Def. Homeomorfismo) Dada $f:(X,T_X)\to (Y,T_Y)$ aplicación, diremos que esta es homeomorfismo si, y solo si: es aplicación biyectiva, continua y $f^{-1}$ es continua.

La anterior definición puede complicarse si la $f$ definida no tiene una inversa fácil de deducir. Haciendo uso de la proposición que probamos antes, una aplicación dada es homeomorfismo si y solo si: es biyectiva, continua y abierta (o cerrada, según convenga comprobar).

Podemos trabajar el primer ejemplo del artículo:

$$\begin{eqnarray} f: (\mathbb{R}, T_D) & \longrightarrow & (\mathbb{R}, T_I) \nonumber \\ x & \longrightarrow & f(x):= 2x \nonumber \end{eqnarray}$$

Se comprueba fácilmente que $f$ es biyectiva, y vimos previamente que es continua en todos sus puntos. Para que sea homeomorfismo, debería verificar ser una aplicación abierta. No es el caso. Por ejemplo, el conjunto imagen de $\{ 0 \} \in T_D$ es $\{0 \}$ que no constituye un abierto de la topología indiscreta. Sigue que $f$ no es homeomorfismo.