Convergencia de sucesiones
Vamos directamente con la definición propia de convergencia:
Dado (X,τ) espacio topológico y {xn} una sucesión en X, diremos que xn converge a x en τ si, y solo si: ∀U∈Ent(x),∃n0∈N:xn∈U,∀n≥n0 Denotaremos x∈lim.
Como caso particular, encontramos la famosa definición de límite de sucesiones del cálculo diferencial. En efecto, sabiendo que \beta (x) = \{ ]x-\varepsilon, x+ \varepsilon [, \varepsilon >0 \} es base de entornos de x\in \mathbb{R} en la topología usual, la definición dada se escribe precisamente como:
x\in \lim_{n\to \infty} x_n \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists n_0 \in \mathbb{N}: x_n \in ]x-\varepsilon , x+\varepsilon [
, siendo la última sentencia equivalente a |x_n - x| < \varepsilon. Observar una sutileza importante: El límite de una sucesión dada, si existe, no tiene por qué ser único (de ahí que no asignamos x=\lim x_n).
EJERCICIOS PROPUESTOS
- (Ejemplos clásicos de convergencia topológica en \mathbb{R})
- Muestra que toda sucesión de números reales converge a cualquier punto si se trabaja la topología indiscreta (\tau_I = \{\varnothing, \mathbb{R} \}).
- Muestra que, respecto a la topología discreta (\tau_D = P(\mathbb{R})), la sucesión \{1/n \}_{n\in \mathbb{N}} no converge a ningún punto.
- (Propiedad importante) Un espacio topológico (X,\tau) se dice Hausdorff, si cada par de puntos diferentes se separa por respectivos entornos, esto es: \forall x,y\in X: x\neq y ; \exists U\in \mathrm{Ent}(x), V\in \mathrm{Ent}(y): U\cap V = \varnothing Muestra que toda sucesión convergente en un espacio Hausdorff admite un único límite.
- (Examen) Sobre \mathbb{R}, se considera la topología \tau = \{ A\subseteq \mathbb{R}: 2\notin A \vee ]1,2[\subseteq A \}. Estúdiese la convergencia de las sucesiones \{1/n \}_{n\in \mathbb{N}}, \{ \frac{n+1}{n} \}_{n\in \mathbb{N}} en este espacio topológico.
- (Examen) Consideramos la topología en \mathbb{R} definida por: T=\{ ]-\infty, a[: a\in \mathbb{R} \} \cup \{ \varnothing, \mathbb{R} \} Estudiar la convergencia de la sucesión \{x_n \} definida como: x_{2n} = 1, x_{2n+1} = -1.
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