Convergencia de sucesiones

Vamos directamente con la definición propia de convergencia:

Dado $(X,\tau)$ espacio topológico y $\{ x_n \}$ una sucesión en $X$, diremos que $x_n$ converge a $x$ en $\tau$ si, y solo si: $$\forall U\in \mathrm{Ent}(x), \exists n_0 \in \mathbb{N}: x_n \in U, \forall n\geq n_0$$ Denotaremos $x\in \lim x_n$.

Como caso particular, encontramos la famosa definición de límite de sucesiones del cálculo diferencial. En efecto, sabiendo que $\beta (x) = \{ ]x-\varepsilon, x+ \varepsilon [, \varepsilon >0 \}$ es base de entornos de $x\in \mathbb{R}$ en la topología usual, la definición dada se escribe precisamente como: 

$$x\in \lim_{n\to \infty} x_n \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 , \exists n_0 \in \mathbb{N}: x_n \in ]x-\varepsilon , x+\varepsilon [$$

, siendo la última sentencia equivalente a $|x_n - x| < \varepsilon$. Observar una sutileza importante: El límite de una sucesión dada, si existe, no tiene por qué ser único (de ahí que no asignamos $x=\lim x_n$).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. (Ejemplos clásicos de convergencia topológica en $\mathbb{R}$)
1. Muestra que toda sucesión de números reales converge a cualquier punto si se trabaja la topología indiscreta $(\tau_I = \{\varnothing, \mathbb{R} \})$.
2. Muestra que, respecto a la topología discreta $(\tau_D = P(\mathbb{R}))$, la sucesión $\{1/n \}_{n\in \mathbb{N}}$ no converge a ningún punto.
2. (Propiedad importante) Un espacio topológico $(X,\tau)$ se dice Hausdorff, si cada par de puntos diferentes se separa por respectivos entornos, esto es: $$\forall x,y\in X: x\neq y ; \exists U\in \mathrm{Ent}(x), V\in \mathrm{Ent}(y): U\cap V = \varnothing$$ Muestra que toda sucesión convergente en un espacio Hausdorff admite un único límite.
3. (Examen) Sobre $\mathbb{R}$, se considera la topología $\tau = \{ A\subseteq \mathbb{R}: 2\notin A \vee ]1,2[\subseteq A \}$. Estúdiese la convergencia de las sucesiones $\{1/n \}_{n\in \mathbb{N}}, \{ \frac{n+1}{n} \}_{n\in \mathbb{N}}$ en este espacio topológico.
4. (Examen) Consideramos la topología en $\mathbb{R}$ definida por: $$T=\{ ]-\infty, a[: a\in \mathbb{R} \} \cup \{ \varnothing, \mathbb{R} \}$$ Estudiar la convergencia de la sucesión $\{x_n \}$ definida como: $$x_{2n} = 1, x_{2n+1} = -1$$.