Ejercicio Resuelto: Defínase $F(x,y) = y^2 / \sqrt{(x^2 +y^2)^3}$ y sea $C$ el cuadrado unidad de vértices opuestos $(0,0), (1,1)$. Probar: $$\iint_C F(x,y) \mathrm{d}A = \ln(1+\sqrt{2})$$

Evidentemente, es integral impropia pues la función presenta una discontinuidad no suave en el origen. Para trabajar la integración impropia, definimos la sucesión básica: $$M_n := C \setminus \left [ 0, \frac{1}{n} \right ]^2 \equiv \left [ \frac{1}{n} ,1 \right ] \times \left [ \frac{1}{n}, 1 \right ]$$ Se justifica rápidamente que es sucesión básica (razónenlo) y, ya que la función es de signo positivo en $C$: la integral existe y es independiente a la sucesión básica considerada. Por tanto:  $$\iint_C f := \lim_{n\to +\infty} \iint_{M_n} f$$ Esta última integral se expresa como: $$\int_{1/n} ^1 \int_{1/n} ^1 \frac{y^2}{\sqrt{(x^2 +y^2)^3}} \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$ El asunto del ejercicio es integrar lo que se corresponde correctamente. Trabajamos primero la integral indefinida:  $$\int \frac{y^2}{\sqrt{(x^2 +y^2)^3}} \mathrm{d}y$$ Para reducir el problema, podemos considerar aplicar integración por partes integrando $y \sqrt{(x^2 +y^2)^{-3}}$. Resulta:  $$u=y \Longrightarrow \mathrm{d}u = \mathrm{d}y \quad \wedge \quad \mathrm{d}v = y \sqrt{(x^2 +y^2)^{-3}} \mathrm{d}y \Longrightarrow v = -(x^2 +y^2)^{-1/2}$$ $$\int \frac{y^2}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}} \mathrm{d}y = -y\cdot (x^2 +y^2)^{-1/2} -\int -\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$ Trabajando la segunda integral, ya que $x$ se considera constante en este contexto, no hay otra forma de proceder que no sea con un cambio de variable. Se puede hacer con un cambio a tangente, pero veo más factible un cambio a seno hiperbólico. Haciendo: $y=x\sinh(t)$, obtenemos:  $$\mathrm{d}y = x\cosh(t) \mathrm{d}t \quad \wedge \quad \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2 +y^2}} := \frac{x\cosh(t) \mathrm{d}t}{x\sqrt{1+\sinh^2(t)}} = \mathrm{d}t$$ La integral resulta entonces: $$\int \mathrm{d}t := t := \mathrm{arcsinh} \left ( \frac{y}{x} \right ) = \ln \left ( \frac{y}{x} + \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} \right )$$ Aplicando la regla de Barrow con los límites de integración $1/n, 1$; resulta: $$\begin{eqnarray} \int_{1/n} ^1 \frac{y^2}{\sqrt{(x^2 +y^2)^3}} \mathrm{d}y & = & - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{(nx)^2 +1}} + \\ & + & \ln \left ( \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right ) - \ln \left ( \frac{1}{nx} + \sqrt{1+\frac{1}{(nx)^2}} \right ) \end{eqnarray}$$ Ya que los límites de integración en la integral doble son independientes de una variable a otra, podemos hacer tender $n\to +\infty$ desde ya, asegurando que los sumandos segundo y cuarto no aportan nada para $n$ grande. Nos interesa entonces, para terminar; hacer la integral: $$\int_{1/n} ^1 \left ( \ln \left ( \frac{1}{x} + \sqrt{1+ \frac{1}{x^2}} \right ) - \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right ) \mathrm{d}x$$  , y tomar $n\to +\infty$. Si trabajamos el logaritmo aplicando integración por partes como es costumbre, obtenemos: $$\begin{eqnarray} u=\ln (1/x + \sqrt{1+1/x^2}) \Longrightarrow \mathrm{d}u & = & \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \left ( - \frac{1}{x^2} - \frac{-\frac{2}{x^3}}{2 \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \right ) = \\ & = & - \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray}$$ Acompañado de $\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \Longrightarrow v=x$, se simplifica la integral como:  $$\int \ln \left ( \frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right ) \mathrm{d}x := x \ln \left ( \frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right ) + \int \frac{\mathrm{d}x}{ \sqrt{1+x^2}}$$ En cohesión con lo que teníamos en el integrando, $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ se cancela y solo queda evaluar: $$\lim_{n\to +\infty} \left [ x\ln \left ( \frac{1}{x} + \sqrt{1+ \frac{1}{x^2}} \right ) \right ]_{x=1/n} ^{x=1}$$ Teniendo en cuenta: $$\frac{1}{n} \ln \left ( n+\sqrt{1+n^2} \right ) \sim \frac{1}{n} \ln (2n) \sim \frac{\ln n}{n} \to 0 \quad , n\to +\infty$$ , el valor de la integral resulta de sustituir $x=1$ en la primitiva, teniendo así: $$\iint_C F \mathrm{d}A = \ln (1+\sqrt{2})$$

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