Ejercicio resuelto. Hallar la integral: $$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 +y^2) / 2\sigma ^2} \mathrm{d}A$$ , con $\sigma \neq 0$. Derivar que: $\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-x^2 / 2\sigma ^2} \mathrm{d}x = \sqrt{2\pi} |\sigma|$.

La función integrando es positiva en todo $\mathbb{R}^2$, luego podemos considerar la sucesión básica $M_n := [-n,n]^2$. Podemos asegurar: $$\iint_{\mathbb{R}^2} f := \lim_{n\to +\infty} \iint_{M_n} f$$ Haciendo un cambio a coordenadas polares, resulta:  $$\begin{eqnarray} \iint_{M_n} e^{-(x^2 +y^2) /2\sigma ^2} \mathrm{d}A & := & \int_{0} ^{2\pi} \int_{0} ^n e^{-\rho^2 / 2\sigma^2} \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta = \\ & = & -2\pi \sigma^2 \int_{0}^n -2\rho \frac{1}{2\sigma ^2} e^{-\rho^2 /2\sigma ^2} \mathrm{d}\rho = \\ & = & -2\pi \sigma^2 \left [ e^{-n^2 /2\sigma^2} -1 \right ]  \longrightarrow 2\pi \sigma ^2 \ , \text{cuando } n\to +\infty \end{eqnarray}$$ Por tanto, el valor de la integral impropia es justamente $2\pi \sigma ^2$. Por otro lado, el teorema de Fubini permite establecer: $$\iint_{\mathbb{R}^2} f:= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} e^{-(x^2 +y^2) /2\sigma ^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \left ( \int_{\mathbb{R}} e^{-x^2 /2\sigma^2} \mathrm{d}x \right )^2 = 2\pi \sigma^2$$ Así: $\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-x^2 / 2\sigma^2} \mathrm{d}x= \sqrt{2\pi} |\sigma|$.

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