Ejercicio Resuelto. $$\iiint_\Omega \sqrt{y^2 +z^2} \mathrm{d}V$$ , con $\Omega:= \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x\geq 0, y^2 + z^2 \leq 1, x+y\leq 2 \}$

La ecuación $y^2 +z^2 \leq 1$ describe un cilindro no acotado en la dirección del eje $x$, mientras que $x+y\leq 2$ representa un plano de toda la vida:

Obsérvese que la $x$ está perfectamente definida y acotada, en términos de $y,z$. Además, la región que proyectan estas dos últimas variables es una circunferencia, y por tanto fácil de parametrizar con coordenadas polares. Por tanto, conviene un cambio a coordenadas cilíndricas respecto de $x$: $$x=x, y=\rho \sin \theta, z= \rho \cos \theta$$. La matriz Jacobiana de la transformación sigue siendo $\rho$. Este varía entre $0$ y $1$, y $\theta \in [0,2\pi]$; teniendo así: $$VOL:= \iiint_\Omega 1 \mathrm{d}V = \int_0 ^{2\pi} \int_0 ^1 \int_0 ^{2-\rho\sin \theta} \rho \cdot \rho \mathrm{d}x \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta = \frac{4\pi}{3} \ \text{ud}^3$$