Ejercicio Resuelto. , con \Omega:= \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x\geq 0, y^2 + z^2 \leq 1, x+y\leq 2 \}

La ecuación y^2 +z^2 \leq 1 describe un cilindro no acotado en la dirección del eje x, mientras que x+y\leq 2 representa un plano de toda la vida:


Obsérvese que la x está perfectamente definida y acotada, en términos de y,z. Además, la región que proyectan estas dos últimas variables es una circunferencia, y por tanto fácil de parametrizar con coordenadas polares. Por tanto, conviene un cambio a coordenadas cilíndricas respecto de x: x=x, y=\rho \sin \theta, z= \rho \cos \theta. La matriz Jacobiana de la transformación sigue siendo \rho. Este varía entre 0 y 1, y \theta \in [0,2\pi]; teniendo así: VOL:= \iiint_\Omega 1 \mathrm{d}V = \int_0 ^{2\pi} \int_0 ^1 \int_0 ^{2-\rho\sin \theta} \rho \cdot \rho \mathrm{d}x \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta = \frac{4\pi}{3} \ \text{ud}^3

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