Ejercicio Resuelto. $$\iiint_\Omega x\cos y \ \mathrm{d}V$$ , con $\Omega$ la región interior de la pirámide de vértices $(\pm 1,0,0),(0,\pm 1, 0), V(0,0,1)$.
Gráficamente, la región $\Omega$ considerada es:
$$\iiint_\Omega f := \iiint_{\Omega_1} f + \dotsb + \iiint_{\Omega_4} f$$
Además, es clave tener en cuenta, designando $h(x,y)$ la altura de la pirámide fijado un punto $(x,y)$ de su base; que: $$\Omega_i := \{(x,y,h(x,y)): (x,y) \text{ están en el cuadrante } i \}$$
La simetría de la región $\Omega$ permite afirmar: $$h(x,y) = h(-x,y) = h(x,-y) = h(-x,-y)$$
Sabido esto, veamos que la integral sobre $\Omega_1$ es la opuesta a la efectuada sobre $\Omega_3$, y respectivamente entre $\Omega_2$ y $\Omega_4$. En efecto, haciendo uso de la regla de Fubini:
$$\iiint_{\Omega_1} f := \iint_{(x,y) \text{ primer cuadrante}} \int_0 ^{h(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x \color{red} =$$
Haciendo el cambio de variables $x=-u, y=-v, z=z$ (es fácil comprobar que $|\det J\varphi| = 1$), se consigue, aplicando lo visto sobre la altura:
$$\color{red} = \color{black} \iint_{(u,v) \text{ tercer cuadrante}} \int_0 ^{h(u,v)} f(-u,-v,z) \mathrm{d}z \mathrm{d}v \mathrm{d}u$$
Finalmente, ya que la función $f$ es impar respecto a sus dos primeras variables, la integral previa coincide con $-\iiint_{\Omega_3} f$. Un argumento similar sirve para relacionar $\Omega_2$ con $\Omega_4$. Así: $\iiint_\Omega f = 0$. Un esquema genérico de la justificación anterior permite razonar el resultado nulo de una integral de una función impar sobre un conjunto simétrico.
Para no dejar el ejercicio así, veamos cuál es el volumen de esta pirámide mediante integración triple. La simetría ya mencionada permite afirmar: $$\mathrm{VOL} := \iiint_\Omega 1 \mathrm{d}V = 4 \iiint_{\Omega \text{ en 1er cuadrante}} \mathrm{d}V = 4 \int_0 ^1 \int_0 ^{1-x} \int_0 ^{1-x-y} \mathrm{d}z \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$
Resulta un volumen de $2/3$ $\mathrm{ud}^3$.
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