Ejercicio Resuelto. $$\iint_D \frac{e^{y-x}}{\sqrt{x^3}} \mathrm{d}A$$, con $D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : 0< y \leq x\}$

Definimos los conjuntos:

$$M_n := D\cap \left [\frac{1}{n},n \right ]^2 \equiv \left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \frac{1}{n} \leq  y\leq x \leq n \right \}$$

, con $n\in \mathbb{N}$. Cada uno de los conjuntos es cerrado y acotado (por tanto compacto en $\mathbb{R}^2$) y medible Jordan; la función integrando es continua y por tanto integrable en cada $M_n$; $M_{n} \subseteq M_{n+1}, \forall n\in \mathbb{N}$; y además todo subconjunto en $D$ admite recubrimiento por algún $M_{n_0}$. Queda justificado entonces que $\{M_n \}$ es sucesión básica. Ya que la función integrando es positiva en $D$, la integral existe y no depende de la sucesión básica elegida. Por tanto: $$\iint_D \frac{e^{y-x}}{\sqrt{x^3}} \mathrm{d}A = \lim_{n\to +\infty} \iint_{D\cap [1/n,n]^2} \frac{e^{y-x}}{\sqrt{x^3}} \mathrm{d}A$$ Aplicando Fubini, resulta la integral doble:

$$\iint_{D\cap [1/n, n]^2} \frac{e^{y-x}}{\sqrt{x^3}} = \int_{\frac{1}{n}} ^n \int_{\frac{1}{n}} ^x \frac{e^{y-x}}{\sqrt{x^3}} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \int_{1/n} ^{n} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^3}} (1-e^{1/n - x})$$

Descomponmos y estudiamos cada integral por separado. Respecto a la primera:

$$\int_{1/n} ^n \frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}} = \int_{1/n} ^{1} + \int_1 ^n \frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}} \to +\infty \quad , \text{ cuando } n\to +\infty$$

Respecto a la segunda, tenemos:

$$\sqrt[n]{e} \int_{1/n} ^{n} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x^3}} \mathrm{d}x \longrightarrow 1\cdot \int_0 ^{+\infty} e^{-x} x^{-3/2} \mathrm{d}x = \Gamma (-3/2 +1) = \frac{\Gamma(1/2)}{-1/2} = -2\sqrt{\pi}$$

, cuando $n\to +\infty$. Por tanto, ya que una integral diverge y la otra converge: la integral impropia es divergente.