Ejercicio Resuelto. $$\iint_D \frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{1-(x^2 +y^2)}^{5a}} \quad ; D:= B((0,0),1), a\in \mathbb{R}$$

Consideramos la sucesión básica definida como $M_n := \bar{B}((0,0), 1-\frac{1}{n})$ bola cerrada (comprobar que es básica para la integración de $f$ en $D$). Ya que $f$ función integrando es positiva en $D$, la integral existe y su valor no depende de la sucesión básica particular. Así: $$\iint_D f := \lim_{n\to +\infty} \iint_{M_n} f$$ Ya que la sucesión básica se define en una bola y el integrando es mansito en el contexto, conviene hacer un cambio a coordenadas polares: $$x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta ; |\det J\varphi| = \rho$$ ; con $\rho \in [0,1-\frac{1}{n}], \theta \in [0,2\pi[$. La integral doble sobre $M_n$ queda como: $$\int_0 ^{2\pi} \int_0 ^{1-\frac{1}{n}} \frac{\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta}{ \sqrt{(1-\rho^2)} ^{5a}} = 2\pi \int_0 ^{1-\frac{1}{n}} \rho (1-\rho^2) ^{-5a/2} \mathrm{d}\rho \color{red} =$$ Asumiendo $-5a/2 \neq -1$: Metemos el $2$ y multiplicamos por $-1$ para convertir a la integral inmediata, y así obtener: $$\color {red} = \color{black} -\pi \left [ \frac{(1-\rho^2)^{\frac{2-5a}{2}}}{\frac{2-5a}{2}} \right ]_{\rho =0} ^{1-\frac{1}{n}} = \frac{2\pi}{2-5a} \left ( 1-\sqrt{ \left ( \frac{2n-1}{n^2} \right )^{2-5a}} \right )$$ Tomando límite en la expresión anterior, la integral es convergente cuando $2-5a>0 \equiv a<\frac{2}{5}$; y converge a $\frac{2\pi}{2-5a}$ en dicho supuesto. Si $-5a/2 = -1 \equiv a=2/5$, resulta de la integración: $$2\pi \int_0 ^{1-\frac{1}{n}} \rho (1-\rho^2) ^{-1} \mathrm{d}\rho = -\pi \int_0 ^{1-\frac{1}{n}} \frac{-2\rho \mathrm{d}\rho}{1-\rho^2} = -\pi \left [ \ln |1-\rho^2 | \right ]_0 ^{1-\frac{1}{n}}$$ , y el límite de la expresión anterior es divergente $(+\infty)$ ya que el argumento del logaritmo se aproxima a cero. Por tanto, la integral impropia no converge en este caso.