Ejercicio Resuelto. Probar: $$\int_\mathbb{R} e^{-ax^2 +bx+c} \mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left (c+ \frac{b^2}{4a} \right ) \quad , a>0$$

Este ejercicio es consecuencia directa del ejercicio previo. En particular, tener en cuenta que podemos completar cuadrados en el exponente: $$\begin{eqnarray} -ax^2 +bx +c & = & -a \left ( x^2 -\frac{b}{a} x -\frac{c}{a} \right ) = -a \left ( \left [ x-\frac{b}{2a} \right ]^2 - \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} \right ) = \\ & = & -a \left ( x-\frac{b}{2a} \right )^2 +c + \frac{b^2}{4a} \end{eqnarray}$$ En consecuencia, podemos expresar la integral que nos dan como: $$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-a \left ( x-\frac{b}{2a} \right )^2 +c + \frac{b^2}{4a}} \mathrm{d}x = e^{c+\frac{b^2}{4a}} \int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-(\sqrt{a} (x-b/2a)^2)} \mathrm{d}x \color{red} =$$ Si hacemos el cambio de variable $t= \sqrt{a} (x-b/2a) \Longrightarrow \mathrm{d}t = \sqrt{a} \mathrm{d}x$, conseguimos expresar: $$\color{red} = \color{black} \exp \left ( c + \frac{b^2}{4a} \right ) \frac{1}{\sqrt{a}} \underset{ = \int_{\mathbb{R}} e^{-t^2 / 2(1/\sqrt{2})^2} \mathrm{d}t}{\underbrace{\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-t^2} \mathrm{d}t}} = \exp \left ( c+\frac{b^2}{4a} \right ) \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

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