Ejercicio Resuelto. Probar: โˆซReโˆ’ax2+bx+cdx=โˆšฯ€aexp(c+b24a),a>0

Este ejercicio es consecuencia directa del ejercicio previo. En particular, tener en cuenta que podemos completar cuadrados en el exponente: โˆ’ax2+bx+c=โˆ’a(x2โˆ’baxโˆ’ca)=โˆ’a([xโˆ’b2a]2โˆ’caโˆ’b24a2)==โˆ’a(xโˆ’b2a)2+c+b24a En consecuencia, podemos expresar la integral que nos dan como: โˆซ+โˆžโˆ’โˆžeโˆ’a(xโˆ’b2a)2+c+b24adx=ec+b24aโˆซ+โˆžโˆ’โˆžeโˆ’(โˆša(xโˆ’b/2a)2)dx= Si hacemos el cambio de variable t=โˆša(xโˆ’b/2a)โŸนdt=โˆšadx, conseguimos expresar: =exp(c+b24a)1โˆšaโˆซ+โˆžโˆ’โˆžeโˆ’t2dtโŸ=โˆซReโˆ’t2/2(1/โˆš2)2dt=exp(c+b24a)โˆšฯ€a

โ—ป

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