Ejercicio Resuelto. Sean $f,g$ funciones escalares tales que $0≤f(p)≤g(p)$ en un conjunto $D\subseteq \mathbb{R}^n$. Si $f$ admite una sucesión básica y la integral $\int_D g$ es convergente, probar entonces que $\int

La clave está en que

$f\geq 0$ en

$D$ . Como tal, ya que admite una sucesión básica para la integración en

$D$ y la integral

$\int_D g$ es convergente: necesariamente

$f$ y

$g$ comparten sucesiones básicas (razonar por qué). En dicho supuesto, la integral

$\int_D f$ existe por hipótesis y es independiente a la sucesión básica considerada. Tomando

$\{M_n\}$ común a ambas funciones, se tiene, por definición:

$\int_D f = \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f \leq \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} g = \int_D g < \infty$

Por tanto, la integral impropia de

$f$ converge en

$D$ .

Observar que es crucial exigir la existencia de sucesión básica para

$f$ en nuestras hipótesis. Como contraejemplo si lo obviamos, podemos considerar

$f:= \chi_{\mathbb{Q}}$ función característica de

$\mathbb{Q}$ ; y

$g\equiv 2$ , teniendo que la integral

$\int_0 ^1 g = 2$ existe y

$0\leq f \leq g$ en

$[0,1]$ . Deduciríamos que

$\int_0 ^1 f$ existe lo cual es incierto, pues ni siquiera admite sucesión básica (

$\chi_{\mathbb{Q}}$ no es integrable sobre ningún compacto).

$\mathcal{Y}$ 𝐚𝐮𝐌𝐚𝐭𝐡