Ejercicio Resuelto. Volumen de: $$R:= \left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : |z| \leq \sqrt{(3-x^2)(3-y^2)} \right \}$$

Empezamos notando que la región trabajada no es ni mucho menos conocida, pues no se corresponde con una cuádrica en el espacio como estamos acostumbrados. No es necesario en este caso.

Observar que, tal y como está definida la región, parece ser conveniente el uso del Teorema de Fubini bajo la fijación de $x,y$, pues los puntos $(x,y,z)$ en $R$ verifican: $$-\sqrt{(3-x^2)(3-y^2)} \leq z \leq \sqrt{(3-x^2)(3-y^2)}$$ Ahora queda estudiar cómo restringimos las variables $x,y$. Es tarea sencilla, pues veamos que, implícitamente; se nos dice que la raíz $\sqrt{(3-x^2) (3-y^2)}$ debe existir, y por tanto: $(3-x^2)(3-y^2) \geq 0$. Ya que tratamos de calcular el volumen de un sólido acotado, exigimos producto de signos positivos: $$( 3-x^2 \geq 0 \wedge 3-y^2 \geq 0) \Longleftrightarrow x,y \in \left [ - \sqrt{3}, \sqrt{3} \right ]$$

Ya que las condiciones de existencia se rigen a $(x,y)$ pertenecientes al cuadrado $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}] \times [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$, sigue: $$\begin{eqnarray} \mathrm{VOL} & := & \iiint_R 1 \mathrm{d}V = \int_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}} ^{\sqrt{3}} \int_{-\sqrt{(3-x^2)(3-y^2)}} ^{\sqrt{(3-x^2)(3-y^2)}} \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \\ & = & 8 \cdot \left ( \int_{0} ^{\sqrt{3}} \sqrt{3-x^2} \mathrm{d}x \right )^2 = \frac{9\pi^2}{2} \ \mathrm{ud}^3 \end{eqnarray}$$

Esta es la figura que estamos considerando