Ejercicio Resuelto. Volumen entre las regiones: $$x^2 + y^2 +z^2 \leq R^2 \quad x^2 + y^2 -4a(z+a) \geq 0$$ , con $R>a>0$.

Gráficamente, la situación es la siguiente:

Ejemplo gráfico con $R=2,a=1$

Veamos cómo trabajar esta integral de volumen en coordenadas esféricas: $$x=\rho \cos \theta \sin \varphi \quad y = \rho \sin \theta \sin \varphi \quad z = \rho \cos \varphi$$ Trivialmente: $\theta \in [0,2\pi[$. Respecto al radio, si hacemos el cambio de variable en la ecuación del paraboloide: 

$$\begin{eqnarray} x^2 + y^2 -4a(z+a) & = & \rho^2 \cos^2 \theta \sin^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin ^2 \varphi -4a (a+\rho \cos \varphi) \\ & =& \rho^2 \sin^2 \varphi -4a(\rho \cos \varphi +a) = 0 \Longrightarrow \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} & \Longrightarrow & \rho = \frac{4a\cos \varphi \pm \sqrt{16a^2 \cos^2 \varphi -4 \rho^2 \sin^2 \varphi (-4a^2)}}{2\sin^2 \varphi} = \frac{4a\cos \varphi \pm 4a}{2\sin^2 \varphi}\end{eqnarray}$$

Ya que el radio es considerado positivo, se debe tomar en cuenta la suma del numerador:

$$\rho := \frac{2a (1+\cos \varphi)}{1-\cos^2 \varphi} = \frac{2a}{1-\cos \varphi}$$

Por tanto, ya que nos piden la porción por debajo del paraboloide y por dentro de la esfera: $\rho \in [\frac{2a}{1-\cos \varphi},R]$. Ahora, respecto a $\varphi$, el ángulo mínimo viene dado a partir de la intersección de ambas superficies. Esta se obtiene reemplazando $x^2 + y^2 = 4a(z+a)$ en la ecuación de la esfera: $$4a(z+a) + z^2 = R^2 \Longrightarrow z\in \left \{ -2a + R , -2a - R \right \}$$

Evidentemente, el interseca se debe producir a altura $z=R-2a$ y con radio $\rho = R$. Uno sustituye en la ecuación con esta $z$ y obtiene:

$$R^2 \sin^2 \varphi - 4a (R-2a+a) = 0 \Longleftrightarrow \sin^2 \varphi = \frac{4a(R-a)}{R^2}$$

Conviene aplicar el teorema fundamental de la trigonometría de nuevo para conseguir:

$$\sin^2 \varphi = 1- \cos^2 \varphi \Longrightarrow \cos^2 \varphi = 1- \frac{4a(R-a)}{R^2} = \frac{(R-2a)^2}{R^2}$$

Finalmente: $0 \leq \varphi \leq \arccos \frac{R-2a}{R}$, y la integral del volumen resulta: $$\mathrm{VOL}:= \int_0 ^{2\pi} \int_{\arccos \frac{R-2a}{R}} ^\pi \int_{\frac{2a}{1-\cos \varphi}} ^R \rho^2 \sin \varphi \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$$

Se comprueba que el resultado es:

$$2\pi \left ( \frac{a^3}{3} - aR^2 + \frac{2R^3}{3} \right ) \quad \mathrm{ud}^3$$

A pesar de tratarse de una región limitada por una esfera y un paraboloide, el cambio a coordenadas cilíndricas puede resultar engorroso y menos limpio.