Espacio cociente

Conviene repasar los contenidos básicos respectivos a relaciones binarias de equivalencia. Trabajamos sobre la siguiente definición:

(Def. Espacio cociente) Sea $(X,T)$ espacio topológico y dada $R$ RBE en $X\neq \varnothing$. Siendo $\pi: X\to X/R$ función definida como $\pi (x) = [x]$, se define a la topología cociente $(X/R, T_{X/R})$ mediante los abiertos:

$$T_{X/R} = \{A\subseteq X/R : \pi^{-1}(A) \in T \}$$

Veamos que se trata de una topología sobre el conjunto cociente:

• $\varnothing$ es un abierto en la topología pues $\pi ^{-1}(\varnothing) = \varnothing \in T$. El espacio cociente pertenece a la topología pues $\pi ^{-1} (X/R) = X \in T$.
• Dados $\{A_i \}_{i\in I} \subseteq T_{X/R}$, nos preguntamos si la unión $\bigcup_{i\in I} A_i$ está en la topología definida. En efecto: $$\pi^{-1} \Bigg ( \bigcup_{i\in I} A_i \Bigg ) = \bigcup_{i \in I} \pi^{-1}(A_i) \in T \quad \mathrm{, \ ya \ que \ } T \ \mathrm{es \ topologia}$$ Así $\bigcup_{i\in I} A_i \in T_{X/R}$.
• Dados $A_1, A_2 \in T_{X/R}$, queremos comprobar que la intersección está permanece en la topología. Dadas las propiedades de la antiimagen: $$\pi ^{-1} (A_1 \cap A_2)= \pi ^{-1}(A_1) \cap \pi^{-1}(A_2) \in T$$ , ya que $T$ es topología. Por lo tanto $A_1 \cap A_2 \in T_{X/R}$.

Haciendo uso de esta topología surgen determinadas propiedades respecto a la continuidad de la función $\pi: (X,T) \to (X/R, T_{X/R})$:

(Proposición) Una función $\pi : (X,T) \to (X/R, T_{X/R})$ es siempre continua. Además, $T_{X/R}$ es la mayor topología que induce la continuidad en $\pi$. Esto es: si $(X/R, T')$ es espacio topológico tal que $\pi: (X,T) \to (X/R, T')$ es continua, entonces: $T' \subseteq T_{X/R}$.

Demostración: Evidentemente la función es continua, pues cualquier abierto en $T_{X/R}$, dada su propia definición; es tal que su antiimagen es un abierto en $T$. Siendo $(X/R, T')$ una topología que induce continuidad en $\pi: X\to X/R$, se debe verificar: $\pi^{-1}(A) \in T$, siendo $A$ un arbitrario de $T'$. En particular: $A\in T_{X/R}, \forall A\in T' \Longrightarrow T' \subseteq T_{X/R}$.

$\square$

En particular, una aplicación $\pi: X\to X/R$ no tiene por qué ser abierta. Si lo tratamos de probar, vemos que para un abierto $A\in T$: $$\pi (A) \in T_{X/R} \Longleftrightarrow \pi^{-1}(\pi (A)) \in T$$ Para afirmar $\pi^{-1}(\pi (A)) = A$, se requiere de inyectividad sobre $\pi$, lo cual no está garantizado. Por lo tanto, para la generalidad de las relaciones de equivalencia sobre $X$, $\pi : X \to X/R$ aplicación inyectiva es condición suficiente para asegurar que sea abierta. No obstante, podemos ser más específicos sobre la siguiente relación de equivalencia:

• Siendo $B\subseteq X$, designaremos $X/B$ como el espacio cociente sobre la relación de equivalencia: $xRy \Longleftrightarrow x=y \vee x,y\in B$.

(Proposición) Sea $(X,T)$ espacio topológico y $B\subseteq X$. Si $B$ es un abierto en $T$, entonces la aplicación $\pi : X\to X/B$ es abierta.

Demostración: Queremos ver que la imagen de un abierto $A$ cualquiera, bajo la hipótesis de $B$ abierto, es un abierto en la topología cociente. Distinguimos dos situaciones:

• Si $A\cap B = \varnothing$, entonces: $$\begin{eqnarray} \pi^{-1}(\pi (A)) & = & \{x\in X: \pi (x) \in \pi (A) \} = \{x\in X: [x] = [y] \ , y\in A \} = \nonumber \\ & \underset{A\cap B= \varnothing}{=}& A\in T \nonumber \end{eqnarray}$$
• Si $A\cap B \neq \varnothing$: $$\begin{eqnarray} \pi^{-1}(\pi (A))  & = & \{x\in X: \pi (x) \in \pi (A) \} = \{x\in X: [x] = [y] \ , y\in A \} = \nonumber \\ & = & \{x\in B: [x]=[y] \ , y\in A \} \cup \{x\in X-B : [x]=[y] \ , y\in A \} \nonumber = \\ & = & B \cup ((X-B)\cap A) = B\cap A \in T \nonumber \end{eqnarray}$$

Se concluye que $\pi$ es aplicación abierta.

$\square$

(Proposición) Siendo $(X,T_X), (Y,T_Y)$ espacios topológicos, $R$ RBE en $X$, y $F:X/R \to Y , \pi: X\to X/R$ aplicaciones. Sucede que $F$ es continua si, y solo si: $F\circ \pi$ es continua.

Demostración: Partiendo de $F$ continua, ya que $\pi(x)=[x]$ siempre es aplicación continua, la composición $F\circ \pi$ es continua. Por otro lado, si $F\circ \pi$ es continua, quiere decir que: $\pi ^{-1} (F^{-1}(A)) \in T_X, \forall A\in T_{Y}$. Ver que $F$ es aplicación continua es equivalente a ver:

$$F^{-1}(A') \in T_{X/R} \ , \forall A'\in T_Y \Longleftrightarrow \pi^{-1}(F^{-1}(A')) \in T_X \qquad , \forall A' \in T_Y$$

Tomando $A' = A$ en la hipótesis manejada se corresponde la continuidad de $F$.

$\square$