Espacio producto

Los espacio producto y cociente son cruciales para estudiar propiedades topológicas de superficies y entornos geométricos de mayor dimensión. En este artículo trabajamos únicamente el espacio producto. Se da la siguiente definición:

(Def. Espacio producto) Sean $(X_1,T_1), (X_2,T_2)$ espacios topológicos, definimos a la topología producto $(X_1 \times X_2, T_{X_1 \times X_2})$ a partir de los abiertos:  $$T_{X_1 \times X_2} = \left \{ \bigcup_{i\in I} A_i \times A_i ' \ \Bigg\vert \ \begin{matrix} \{A_i \}_{i\in I} \subseteq T_1\\ \{A_i ' \}_{i \in I} \subseteq T_2 \end{matrix} \right \} \subseteq X_1 \times X_2$$

Veamos que en efecto se trata de una topología en $X_1 \times X_2$:

• $\varnothing \in T_{X_1 \times X_2}$ pues $\varnothing = \varnothing \times \varnothing$, siendo $\varnothing \in T_1, T_2$. A su vez: $X_1 \times X_2$ es un abierto en la topología pues $X_1 \in T_1 \wedge X_2 \in T_2$.
• Dados $\{B_j \}_{j\in J} \subseteq T_{X_1 \times X_2}$, nos preguntamos si $\bigcup_{j\in J} B_j \in T_{X_1 \times X_2}$. En efecto: $$\bigcup_{j\in J} B_j = \bigcup_{j\in J} \ \bigcup_{i\in I_j} A_i \times A_i ' = \bigcup_{\substack{j\in J \\ i\in I_j}} A_i \times A_i ' \in T_{X_1 \times X_2}$$
• Dados $B_1 = \bigcup_{i\in I} A_i \times A_i ', B_2 = \bigcup_{j\in J} A_j \times A_j '$, nos preguntamos si $B_1 \cap B_2 \in T_{X_1 \times X_2}$. Basta con tener en cuenta: $$B_1 \cap B_2 = \bigcup_{\substack{i\in I \\ j\in J}} (A_i \times A_i ') \cap (A_j \times A_j ') = \bigcup_{\substack{i\in I \\ j\in J}} (A_i \cap A_j) \times (A_i ' \cap A_j ')$$ En particular, $A_i \cap A_j \in T_1 , A_i ' \cap A_j ' \in T_2$, para cualesquiera $i\in I, j\in J$ (hipótesis en topologías). En consiguiente $B_1 \cap B_2 \in T_{X_1 \times X_2}$.

Se concluye así que $T_{X_1 \times X_2}$ es topología sobre $X_1 \times X_2$. Dada su construcción, se intuye que la base de abiertos de esta topología es precisamente, siendo $\beta_i$ base de $T_i$: $\beta_{X_1 \times X_2} = \{A_1 \times A_2 : A_i \in \beta_i \}$ (MUY DISTINTO DE $\beta_1 \times \beta_2$). Acerca de los cerrados en esta topología, se tiene el siguiente resultado:

(Proposición) El producto cartesiano de dos cerrados en topologías dadas es un cerrado en la topología producto que conforman. 

Demostración: Por desarrollo directo, tenemos:

$$\begin{eqnarray} X_1 \times X_2 - (C_1 \times C_2) & = & \{ (a,b): (a,b)\notin C_1 \times C_2 \} \cap (X_1 \times X_2) = \nonumber \\ & = & \{ (a,b): a\notin C_1 \vee a\notin C_2 \} \cap (X_1 \times X_2) = \nonumber \\ & = & (\{ (a,b): a\notin C_1 \} \cup \{ (a,b): b\notin C_2 \} ) \cap (X_1 \times X_2) = \nonumber \\ & = & ((X_1 -C_1)\times X_2) \cup (X_1 \times (X_2 - C_2)) \in T_{X_1 \times X_2} \nonumber \end{eqnarray}$$

$\square$

El recíproco no es cierto en general. Por ejemplo, basta tomar $A$ abierto en una topología de manera que $A\times \varnothing = \varnothing$ es un cerrado en la topología producto, pero $A$ no tiene por qué serlo.

Comentar que se demuestra fácilmente que la base de entornos de la topología producto resulta ser:

$$\beta_{X_1 \times X_2} (a,b) = \{ A_1\times A_2: A_1 \in \beta_1 (a), A_2 \in \beta_2 (b)  \}$$

Conjuntos notables en la topología producto

En cualquiera de los resultados expuestos a continuación, se presupone $D$ no vacío tal que: $D=D_1 \times D_2\in X_1 \times X_2$. Se verifica:

(Proposición) $\mathrm{Int}_{X_1 \times X_2} (D) = \mathrm{Int}_{X_1} (D_1) \times \mathrm{Int}_{X_2} (D_2)$.

Demostración: Para probarlo, jugaremos con las bases de entornos:

• $"\subseteq "$ Dado $(a,b) \in \mathrm{Int}_{X_1\times X_2} (D) \Longleftrightarrow \exists A_1 \times A_2 \in \beta (a,b) : A_1 \times A_2 \subseteq D$. Así $A_1 \subseteq D_1 \wedge A_2 \subseteq D_2.$ Luego: $$\left.\begin{matrix} \exists A_1 \in \beta_1 (a) : A_1 \subseteq D_1 \Leftrightarrow a\in \mathrm{Int}_{X_1} (D_1) \\ \exists A_2 \in \beta_2 (b): A_2 \subseteq D_2 \Leftrightarrow b\in \mathrm{Int}_{X_2} (D_2) \end{matrix}\right\} \Rightarrow (a,b)\in \mathrm{Int}_{X_1}(D_1) \times \mathrm{Int}_{X_2} (D_2)$$
• $"\supseteq "$ Supongamos ahora $(a,b)$ tal que $a\in \mathrm{Int}_{X_1} (D_1)$ y $b\in \mathrm{Int}_{X_2} (D_2)$. En particular, existen $A_1 \in \beta_1 (a), A_2 \in \beta_2 (b)$ contenidos en $D_1, D_2$ respectivamente. Tomando $A = A_1 \times A_2 \in \beta(a,b)$ tales que $A_1 \times A_2 \subseteq D_1 \times D_2 = D$. Se deduce: $(a,b)\in \mathrm{Int}_{X_1 \times X_2} (D)$.

$\square$

(Proposición) $\mathrm{Cl}_{X_1 \times X_2} (D) = \mathrm{Cl}_{X_1} (D_1) \times \mathrm{Cl}_{X_2} (D_2)$.

Demostración: Jugamos de nuevo con bases de entornos:

• $"\subseteq "$: Sea $(a,b)\in \mathrm{Cl}_{X_1 \times X_2} (D)$, entonces para cualquier $A_1 \times A_2 \in \beta(a,b)$, se verifica: $$(A_1 \times A_2) \cap D \neq \varnothing \quad \wedge \quad (A_1 \times A_2) \cap ((X_1 \times X_2) - D) \neq \varnothing$$ Así, para cualquier $A_1 \in \beta(a)$, se ha de cumplir $A_1 \cap D_1 \neq \varnothing \wedge A_1 \cap (X_1 - D_1) \neq \varnothing$. Por lo tanto $a\in \mathrm{Cl}_{X_1} (D_1)$. El razonamiento es análogo para ver $b\in \mathrm{Cl}_{X_2}(D_2)$.
• $"\supseteq"$: Dados $a\in \mathrm{Cl}_{X_1} (D_1), b\in \mathrm{Cl}_{X_2} (D_2)$, en particular para cualquier entorno de $a$ en $X_1$ y de $b$ en $X_2$, su intersección es no vacía con $D_1, D_2$ y sus complementarios, respectivamente. Es inmediato formular $(a,b) \in \mathrm{Cl}_{X_1 \times X_2} (D)$ dadas las relaciones componente a componente.

$\square$

Proyecciones

(Definición) Dados $(X_1, T_1), (X_2, T_2)$ espacios topológicos, se definen las proyecciones primera y segunda como las aplicaciones que proceden: $$p_1 : X_1 \times X_2 \to X_1 \ , p_1 (x_1, x_2) = x_1 \qquad p_2 : X_1 \times X_2 \to X_2 \ , p_2 (x_1, x_2) = x_2$$

Cualquiera de las proyecciones es continua. En efecto, trabajando sin pérdida de generalidad en la proyección primera:

$$p_1 ^{-1}(A_1) = \{(x_1, x_2) \in X_1 \times X_2 : p_1(x_1, x_2) = x_1 \in A_1 \} = A_1 \times X_2 \in T_1 \times T_2$$

, para cualquier abierto $A_1 \in T_1$. Ninguna de las proyecciones definidas es inyectiva, y por lo tanto no se tratan de homeomorfismos. Sin embargo, se puede afirmar que son ambas aplicaciones abiertas (Inmediato de la definición). No siempre tienen por qué ser cerradas. En efecto, considerando $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ con la topología usual:

$$\left \{ \left ( \frac{1}{n}, 2n \right ) \right \}_{n\in \mathbb{N}} \ \mathrm{cerrado} \  \underset{p_1}{\longrightarrow} \ \left \{ \frac{1}{n} \right \}_{n\in \mathbb{N}} \ \mathrm{no \ cerrado}$$

Una particular utilidad sobre las proyecciones, recae en el estudio de la continuidad de funciones. Se consigue probar el siguiente resultado:

(Proposición) Sean $(X_i, T_i), i=1,2,3$; espacios topológicos, una función dada $f:(X_1,T_1) \to (X_2 \times X_3, T_{X_2 \times X_3})$ es continua si, y solo si lo son las composiciones: $$p_1 \circ f: (X_1,T_1) \to (X_2, T_2) \qquad p_2 \circ f: (X_1, T_1) \to (X_3, T_3)$$

Demostración: $"\Rightarrow "$ Suponemos $f$ función continua. En particular, para cualquier entorno $U\in \mathrm{Ent}_{T_2 \times T_3} (x_2,x_3),$ existe $V\in \mathrm{Ent}_{T_1} (x_1)$ tal que $f(V)\subseteq U$, siendo $f(x_1) = (x_2,x_3)$. Sean $U_2 \in \mathrm{Ent}_{T_2} (x_2), U_3 \in \mathrm{Ent}_{T_3}(x_3)$, considérese $U_2 \times U_3$ entorno de $(x_2,x_3)$ en la topología producto. Por hipótesis, encontramos $V\in \mathrm{Ent}_{T_1}(x_1):$ $f(V)\subseteq U_2 \times U_3$. Basta con tomar $V'=V''=V\in \mathrm{Ent}_{T_1}(x_1)$ tal que:

$$(p_1 \circ f)(V') \subseteq U_2 \quad \wedge \quad (p_2 \circ f)(V'') \subseteq U_3$$

Hemos probado que la composición con las proyecciones es continua. $"\Leftarrow"$ Veamos que $f$ es función continua por caracterización de abiertos. En efecto:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(A_2 \times A_3) & = & \{x\in X: f(x) \in A_2 \times A_3 \} \nonumber = \\ & = & \{ x\in X: (p_1 \circ f)(x) \in A_2 \wedge (p_2 \circ f)(x) \in A_3 \} \nonumber = \\  & = & (p_1 \circ f)^{-1}(A_2) \cap (p_2 \circ f)^{-1}(A_3) \in T_{1} \quad , \forall A_2\in T_2, A_3 \in T_3 \nonumber \end{eqnarray}$$

$\square$