Espacios tipo Hausdorff

Gran parte de los espacios utilizados con mayor categoría y frecuencia son espacios tipo Hausdorff. En este artículo, presentaremos una noción topológica del concepto y algunas de las propiedades más interesantes relativas a esta clase de espacios.

Definición (Espacio Hausdorff) Dado $(X,T)$ espacio topológico no unitario. Diremos que este es Hausdorff si, y solo si: $\forall x,y\in X: x\neq y$, existen $U\in \mathrm{Ent}(x), V\in \mathrm{Ent}(y)$ tales que: $U\cap V = \varnothing.$

Como caso genérico, empezar comentando que cualquier espacio métrico $(X,d)$ es Hausdorff, pues se corresponde a tomar, dados $x,y\in X$ distintos; las bolas $B(x, \frac{|x-y|}{2}) , B(y,\frac{|x-y|}{2})$ son entornos de $x,y$ respectivamente disjuntos. Variando de topología, se tiene que $(X,T_D)$, siendo $X$ no unitario es siempre de Hausdorff, pues basta con tomar $\{ x \},\{y \}$ entornos de $x\neq y$ disjuntos. Los espacios topológicos dotados de la topología indiscreta no son de Hausdorff, pues todo punto en el espacio tiene asociado un único entorno: el total. Veamos propiedades más genéricas:

(Proposición) Sea $(X,T)$ espacio topológico de Hausdorff, se verifica que $\{x \}$ es un cerrado, $\forall x\in X$.

Demostración: Verificamos que $X\setminus \{x \}$ es un abierto. Para ello, justificamos que es entorno de todos sus puntos. Sea $y\in X\setminus \{x \}$, necesariamente $y\neq x$ y por lo tanto, tenemos por hipótesis $U_x, U_y$ entornos de $x,y$ respectivamente tales que $U_x \cap U_y = \varnothing.$ Por lo tanto, encontramos $A\in T: y\in A\subseteq U_x \subseteq X\setminus \{x \}$, pues $U_x$ era disjunto a $U_y$. Por ende: $X\setminus \{x \}$ es entorno de todos sus puntos.

$\square$

(Proposición) Sea $(X,T)$ espacio topológico Hausdorff, entonces cualquier sucesión $\{x_n \}$ convergente en $(X,T)$ converge a un único punto.

Demostración: Supongamos por RRAA la existencia de $x,y\in X: x\neq y$ verificando $x_n\to x \wedge x_n \to y$. Por hipótesis, existen $U_x\in \mathrm{Ent}(x), U_y\in \mathrm{Ent}(y)$ tales que $U_x \cap U_y = \varnothing$. Dada la convergencia de $\{x_n \}$ a ambos puntos, existe $N\in \mathbb{N}$ de forma que: $x_n \in (U_x \cap U_y) \neq \varnothing , \forall n\geq N$; lo cual contradice la hipótesis.

$\square$

La propiedad de ser Hausdorff es hereditaria y topológica. Lo justificamos a continuación:

Sea $(X,T)$ espacio topológico Hausdorff y $Y\in X$ no unitario. Queremos ver que $(Y,T_Y)$ es de Hausdorff, por lo que dados $x,y\in Y: x\neq y$, buscamos $U\in \mathrm{Ent}_Y (x), V\in \mathrm{Ent}_Y (y)$ tales que $U\cap V = \varnothing$. Por hipótesis, ya que $Y\subseteq X$, encontramos:

$$U_x\in \mathrm{Ent}(x) \ U_y \in \mathrm{Ent}(y) \ \mathrm{tales \ que} \ U_x \cap U_y= \varnothing$$

Basta con tomar $U=U_x \cap Y, V=U_y \cap Y$ entornos en la topología relativa verificando:

$$U\cap V = (U_x \cap Y) \cap (U_y \cap Y) = (U_x \cap U_y) \cap Y = \varnothing$$

Veamos ahora que se trata en efecto de una propiedad topológica. Supongamos entonces $(X',T')$ espacio topológico tal que $(X,T) \cong (X',T')$. En particular, existe $f:(X,T) \to (X',T')$ homeomorfismo. Para verificar que el espacio topológico $(X',T')$ es de Hausdorff, tomamos $x',y' \in X'$ distintos y buscamos $U',V'$ entornos respectivos tales que $U' \cap V' = \varnothing$. Ya que $f$ es aplicación sobreyectiva, encontramos $x,y\in X$ tales que $f(x) = x', f(y) = y'$. Además, ya que $f$ es aplicación, necesariamente $x\neq y$. Por la hipótesis de Hausdorff, encontramos $U_x, U_y$ entornos respectivos en $(X,T)$ nuevamente disjuntos. Basta con tomar $U'=f(U_x), V'=f(U_y)$ tales que:

1. $f(U_x) \in \mathrm{Ent}_{T'}(f(x))$. En efecto, ya que $x\in U_x \Rightarrow f(x) \in f(U_x)$ y, ya que $U_x$ es entorno, existe $A\in T$ tal que $x\in A\subseteq U_x$. En particular: $f(A)$ es abierto ya que $f$ es aplicación abierta. Por ende: $x\in f(A) \subseteq f(U_x)$. Same razonamiento para $f(U_y) \in \mathrm{Ent}_{T'}(f(y))$.
2. $U' \cap V' = f(U_x) \cap f(U_y) = f(U_x \cap U_y) = f(\varnothing) = \varnothing$.

Quedan probadas ambas propiedades.