Integrales de superficie

Introducimos en este post la noción de integral de superficie en variables reales; los principales teoremas y resultados, y algunas aplicaciones al cálculo de áreas laterales.

El concepto de integración sobre superficies amplia la noción de integración doble, para hacer relevante el espacio (a partir de la ordenada $z$) pero sobre todo las direcciones. Interesa considerar campos (escalares o vectoriales) continuos sobre superficies a parametrizar.

Comenzamos definiendo el producto vectorial fundamental de una parametrización dada:

(Definición, Producto vectorial fundamental) Sea $\Phi : \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ una parametrización derivable. Definimos al producto vectorial fundamental de $\Phi(u,v):= (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ en $\Omega$ como:  $$\frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} := \left ( \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u} \right ) \times \left ( \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v} \right )$$

En caso de trabajar con parametrizaciones de mayor dimensión, pongamos $\Phi: \Omega \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^{m+1}$; podemos ampliar la noción de producto vectorial fundamental, y definirlo como:  $$\det [\mathbf{e}, \partial_{x_1} \Phi , \partial_{x_2} \Phi \ \dots \  \partial_{x_m} \Phi]^T \quad \text{, donde } \mathbf{e} := (\mathbf{e}_1, ..., \mathbf{e}_{m+1})$$

Si trabajamos una parametrización de una superficie explícita: $\Phi (x,y) = (x,y,f(x,y))$, podemos ver que su producto vectorial fundamental es un vector normal a la superficie. En efecto, surge el normal del plano tangente:  $$\partial_x \Phi \times \partial_y \Phi := \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & \partial_x f \\ 0 & 1 & \partial_y f \\ \end{vmatrix} = (-\partial_x f, -\partial_y f, 1)$$

Ello ocurre generalmente en cualquier parametrización dada, siempre y cuando sea regular.

(Definición, Parametrizaciones regulares y superficies suaves) Una parametrización dada es regular cuando es de clase $C^1$ y su producto vectorial fundamental es no nulo. Escrito de otra forma: Si $\Phi: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ es una parametrización expresada como: $\Phi(u,v) := (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$, ella es regular si, y solo si: $$x,y,z \in C^1(\Omega) \quad \wedge \quad \partial_u \Phi \times \partial_v \Phi \neq \mathbf{0} \ \text{en } \Omega$$ Auxiliarmente, diremos que $S\subseteq \mathbb{R}^3$ es superficie suave si admite una única dirección normal en cada uno de sus puntos. Podemos exigir la existencia de un abierto $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ tal que $\partial \Omega$ es una curva regular a trozos, y un campo diferenciable y regular $\Phi: \Omega \to \mathbb{R}^3$ tal que $\Phi(\Omega) = S$ (en particular: su parametrización). 

La existencia de una parametrización regular para una superficie dada, no caracteriza que la misma sea suave. Lo veremos en un momento. Ya que trabajaremos con parametrizaciones todo el rato, es indispensable conocer algunas de las clásicas. Ahí van:

Esfera de ecuación: $\mathbf{x^2 + y^2 + z^2 = R^2, R>0}$. Se dispone de dos parametrizaciones fundamentales. Trabajando sobre coordenadas esféricas:

$\Phi (u,v) := (R \cos(u) \sin(v), R\sin(u) \sin(v) , R\cos(v)) \ , \text{para } u\in [0,2\pi] , v\in [0,\pi]$

De otra forma, podemos trabajar directamente la proyección de la esfera sobre el plano $XY$: $T=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq R^2 \}$. En particular, para un $(x,y)\in T$ fijo, la superficie de la esfera asigna por altura un $z$ tal que $x^2 + y^2 + z^2 = 1 \Longleftrightarrow z= \pm \sqrt{1-x^2 - y^2}$. Por ello, si definimos: $$\Phi_1 (x,y) = \left (x,y,\sqrt{1-x^2 -y^2} \right ) \quad \Phi_2 (x,y) = \left (x,y,-\sqrt{1-x^2 -y^2} \right )$$ , se tiene que $S_1 := \Phi_1 (T)$ es la semiesfera superior y $S_2 := \Phi_2 (T)$ es la inferior.

Cilindro acotado de ecuación: $\mathbf{x^2 + y^2 = R^2, R>0 ; z\in [a,b]}.$ Podemos trabajar directamente a partir de la parametrización:  $$\Phi (u,v) := (R\cos(u), R\sin(u), v) \quad , \text{para } u\in [0,2\pi] , v\in [a,b]$$

Cono elíptico de ecuación: $z^2 = x^2 + y^2, |z|<a>0$. Para el hemisferio positivo del cono, podemos tener en cuenta que el radio horizontal varía a medida que cambiamos la $z$. A altura $z>0$, el radio que describe la proyección del cono es $z$. Como tal, la parametrización: $$\Phi_1 (u,v) = (v\cos(u),v\sin(u),v) \quad \text{, con } u\in [0,2\pi], v\in [0,a]$$ , es válida para parametrizar el hemisferio superior del cono. En general, la parametrización: $$\Phi (u,v) = (av \cos u, bv \sin u, cv) \quad , u\in [0,2\pi], v\in [a,b]$$ , es válida para describir al cono elíptico $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$, variando $ca\leq z \leq cb$.

Superficie explícita. Supongamos que tenemos una función vectorial en $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$: $f(x,y) = z$, y queremos parametrizar la superficie que engendra dicho campo. Evidentemente la parametrización buscada es: $$\Phi(x,y) = (x,y,f(x,y)), (x,y)\in T$$

Generalmente, las parametrizaciones por el estilo son regulares en todo $T$ a excepción de un conjunto de contenido nulo. Por ejemplo, la parametrización esférica inicial es no regular en los polos de la esfera.

* Para verlo, pueden usar el siguiente código en Maxima:

load(vect);

r(u,v):=[cos(u)*sin(v),sin(u)*sin(v),cos(v)] /* Parametrización */;

pfund:express(diff(r(u,v),u)~diff(r(u,v),v)); /* Definimos el producto fundamental */

n1:subst([v=0],pfund) /* Producto fundamental nulo en el polo norte */

n2:subst([v=%pi],pfund) /* Producto fundamental nulo en el polo sur */

Sin embargo, es evidente que la esfera presenta una única dirección normal en sus polos. Es por ello que este tipo de fallas no nos ocasiona problemas. Estamos listos para definir la integral de superficie:

(Definición, Integral de superficie, Campo escalar) Sea $f$ un campo escalar definido y acotado en $S \subseteq \mathbb{R}^3$ superficie imagen de la parametrización $\Phi : T \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$. Si $\Phi \in C^1 (T)$, definimos la integral de superficie de $f$ sobre $S$ como: $$\iint_S f \mathrm{d}S := \iint_T f(\Phi (u,v))  \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right \| \mathrm{d}A$$ En el caso de tener la superficie expresada como unión semidisjunta finita de superficies paramétricas: $S = \bigcup_i S_i$, definimos: $$\iint_S f \mathrm{d}S := \sum_{i} \iint_{S_i} f \mathrm{d}S$$

Al igual que en el caso de integrales de línea, múltiples interpretaciones pueden venir a juego. En este caso, dada una superficie $S=\Phi(T)$, si tenemos una función escalar $f\geq 0$ definida en $S$ asignando la densidad de dicha superficie en cada punto; la integral de superficie $\iint_S f \mathrm{d}S$ devuelve la masa de la superficie particular. Habíamos visto en integrales de línea que ocurría lo mismo respecto a la masa de una cuerda / alambre. 

Otra aplicación más relevante es la del cálculo de áreas. El área de una superficie parametrizada $S=\Phi(T)$ se define como la integral de superficie de la función $1$: $$A = \iint_S 1 \mathrm{d}S := \iint_T \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right \| \mathrm{d}u \ \mathrm{d}v$$ Al final del artículo comentaré el por qué de esta definición. En el caso de campos vectoriales, la definición de integral de superficie varía:

(Definición, Integral de superficie, Campo vectorial) Sea $\mathbf{F}$ un campo vectorial definido y acotado en $S \subseteq \mathbb{R}^3$ superficie imagen de la parametrización $\Phi : T \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$. Si $\Phi \in C^1 (T)$, definimos la integral de superficie de $\mathbf{F}$ sobre $S$ como: $$\iint_S \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S} := \iint_T \mathbf{F}(\Phi (u,v)) \cdot \left ( \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right ) \mathrm{d}A$$

Respecto a esta segunda definición, una posible y clásica interpretación física es la del cálculo de flujos. En particular, si $\mathbf{F}$ es una función vectorial designando el flujo de un fluído específico sobre una superficie $S$, entonces la integral de superficie $\iint_S \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S}$ representa el flujo total sobre $S$.

Es importante mencionar que pueden existir múltiples parametrizaciones para una superficie dada, y la integración de superficie considerando cada una de ellas puede no ser equivalente (no tiene por qué dar lo mismo básicamente). No obstante, y de nuevo: el asunto es muy similar a lo que ocurre con las integrales de línea. En la integración sobre curvas, dos parametrizaciones arrojaban el mismo resultado cuando la curva era generada con una misma orientación. Similarmente, en la integración sobre superficies, dos parametrizaciones originan el mismo resultado cuando consideran el mismo sentido para el vector normal a la superficie trabajada en cada punto. Entra en juego, por tanto: el producto vectorial fundamental.

Dada una parametrización regular $\Phi: T\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, cada punto en $S = \Phi(T)$ tiene dos candidatos a ser vectores normales unitarios:  $$\overrightarrow{n} := \pm \displaystyle \frac{\frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v}}{\left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right \|}$$  En algunos casos, la superficie $S$ no es orientada (solo presenta una cara) y ambos vectores normales no definen propiamente el recorrido de la superficie. Un claro ejemplo de ello es la famosa cinta de Mobius:

Fuente: https://plus.maths.org/content/

Definiremos así la orientación positiva de una parametrización cuando su producto vectorial fundamental sea el vector normal apuntando hacia afuera de la superficie. De esta forma, cada vez que trabajemos la integración de una superficie orientada respecto a un campo vectorial, implícitamente tendremos definida esta normal para trabajar.

Antes de empezar a trabajar los resultados correspondientes, mencionar también que toda integral de superficie respecto a un campo vectorial, se corresponde a una trabajando un campo escalar. Evidentemente, si $\overrightarrow{n}$ es el vector normal unitario apuntando hacia afuera de la superficie: 

$$\begin{eqnarray} \iint_S \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S} & = & \iint_T \mathbf{F}(\Phi(u,v)) \cdot \left ( \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right ) \mathrm{d}A = \\ & = & \iint_T \left [ \mathbf{F}(\Phi(u,v)) \cdot ( \pm \overrightarrow{n} ) \right ] \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right \| \mathrm{d}A =: \iint_S \mathbf{F} \cdot (\pm \overrightarrow{n}) \mathrm{d}S \end{eqnarray}$$

Así, de manera vulgar: $\mathrm{d}\mathbf{S} := \pm \overrightarrow{n} \mathrm{d}S$, donde se considera $\overrightarrow{n}$ si la parametrización $\Phi$ conserva la orientación positiva de la superficie; o $-\overrightarrow{n}$ en el otro caso. Acabamos de probar también que integrar respecto de dos parametrizaciones $\Phi_1, \Phi_2$ de la misma superficie solo puede alterar en un signo, según el sentido del producto vectorial fundamental de ambos. Veamos ahora los dos resultados clásicos en este campo:

(Teorema de Stokes. Relación con la integral de línea) Sea $\mathbf{F}$ un campo vectorial de clase $C^1$ en $S$ superficie parametrizada por $\Phi: T\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$. Si $\partial T$ conforma una curva de Jordan regular a trozos; y $\Phi$ es inyectiva y de clase $C^2$ en algún abierto conteniendo $T\cup \partial T$, entonces: $$\iint_S \mathrm{rot} \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_{\partial T} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}(\Phi \circ \gamma)$$ , donde $\gamma$ es una parametrización de $\partial T$ recorrida positivamente.

Demostración: Pendiente.

(Teorema de Gauss-Ostrogradski. Relación con la integral triple) Sea $\mathbf{F}$ un campo vectorial de clase $C^1$ en $V\subseteq \mathbb{R}^3$ volumen limitado por una superficie orientada $S$. Entonces: $$\iint_S \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_V \mathrm{div} \mathbf{F} \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$ , donde $\mathrm{div} \mathbf{F}$ denota la divergencia del campo vectorial $\mathbf{F}:= (P,Q,R)$, definida como: $\mathrm{div} \mathbf{F} := \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$.

Demostración: Pendiente.

*Interpretación de la definición de área como integral de superficie

Sea $\Phi: T\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ una parametrización de una superficie $S$. Supongamos por simplicidad que $T$ se trata de un rectángulo en el plano, y $P = \{P_{ij} \}_{1\leq i,j \leq n}$ es partición uniforme de $T$. En particular, cada intervalo de la partición plantea dos vectores tangentes en su imagen por $\Phi$, uno respecto a cada variable. Dichos vectores normales son: $$\frac{\partial \Phi}{\partial u} \text{ respecto a la componente }u \quad  , \quad \frac{\partial \Phi}{\partial v} \text{ respecto a la variable }v$$ Si denotamos $P_{ij} := [u_i, u_i ^*] \times [v_j, v_j ^*]$, entonces los vectores $\Delta u_i \cdot \frac{\partial \Phi}{\partial u}(u_i,v_j),$ $\Delta v_j \cdot \frac{\partial \Phi}{\partial v} (u_i, v_j)$ son ambos tangentes a $S$ en $\Phi (u_i, v_j)$, donde $\Delta (u_i) =u_i ^* - u_i$ y $\Delta (v_j) = v_j ^* - v_j$. Como tal, ambos conforman un paralelogramo cuya área aproxima al área de la superficie $\Phi (P_{ij})$. Evidentemente, a medida que $\mu (P) \to 0$, sumar las áreas de cada uno de estos paralelogramos estima mejor el área de la superficie buscada. Bajo condiciones de continuidad y suavidad, uno puede afirmar:

$$\lim_{\mu (P) \to 0} \sum_{i,j} A(P_{ij}) = A(S)$$

En particular, el área del paralelogramo formado por los vectores tangentes descritos es el módulo del producto vectorial de ellos:  $$\begin{eqnarray} A(P_{ij}) & := & \left \| \Delta(u_i,v_j) \frac{\partial \Phi}{\partial u} (u_i, v_j) \times \Delta (v_j) \frac{\partial \Phi}{\partial v} (u_i, v_j) \right \| = \\  & = & \Delta (u_i) \Delta (v_j) \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} (u_i, v_j) \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} (u_i, v_j) \right \| \end{eqnarray}$$ Ergo:  $$\sum_{i,j} A(P_{ij}) = \sum_{i = 1} ^{n} \sum_{j=1} ^n \Delta (u_i) \Delta (v_j) \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} (u_i, v_j) \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} (u_i, v_j) \right \|$$ Ya que $A(P_{ij}) = \Delta (u_i) \Delta (v_j)$, haciendo $n\to +\infty$ en la expresión anterior obtenemos la suma de Riemann correspondiente a la integral doble: $$\iint_T \left \| \frac{\partial \Phi}{\partial u} \times \frac{\partial \Phi}{\partial v} \right \| \mathrm{d}u \ \mathrm{d}v$$ , tal y como habíamos definido :).

Ejercicios propuestos

1. Usar integrales de superficie para corroborar las fórmulas clásicas de área lateral respecto del cilindro y el cono.
2. Computar el área sobre el cilindro de ecuación $x^2 + z^2 =a^2$ que queda adentro del otro cilindro $x^2 + y^2 = a^2$ (Asumir $a>0$). Ver solución.
3. Sea $S$ la superficie del cilindro $x^2 +y^2 =3$ limitada inferiormente por el plano $z=0$ y superiormente por el plano de ecuación $z=4-y$ (Considerar la superficie tapada). Si $\rho (x,y,z) = y+z$ representa la densidad de la superficie en un punto de $S$, determinar la masa de la superficie.
4. Determinar: $$\iint_S (x,y,z^4) \mathrm{d}\mathbf{S}$$ , donde $S$ es el hemisferio superior de la esfera de ecuación $x^2 + y^2 +z^2 =9$ tapado inferiormente por $x^2 + y^2 \leq 9, z=0$.
5. Evaluar $$\int_C (x+y^2, y+z^2, z+x^2) \mathrm{d}r$$ , donde $C$ es el interseca del plano $x+y+z=1$ con los ejes coordenados; a partir de la definición de integral de línea. Corroborar el resultado haciendo uso del Teorema de Stokes.
6. Demostrar que el teorema de Green es un caso particular de los teoremas de Stokes y Gauss.
7. Defínase el campo vectorial $\mathbf{F}: \mathbb{R}^3 \setminus \{ \mathbf{0} \} \to \mathbb{R}^3$ como: $\mathbf{F}(\overrightarrow{r}) = \frac{\overrightarrow{r}}{\| \overrightarrow{r} \|^3}$. Determinar su divergencia y calcular la integral de superficie: $$\iint_S \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S}$$ , donde $S$ es una esfera de centro $(2,0,0)$ y radio 1. Ver solución.
8. Hacer uso del teorema de Gauss para calcular: $$\iint_S (xy,y^2/2,z) \mathrm{d}\mathbf{S}$$ , donde $S$ consiste en la superficie que tiene a $z=4-3x^2-3y^2, 1\leq z \leq 4$ como parte superior, $x^2 + y^2 = 1, 0 \leq z \leq 1$ como parte media; y $z=0$ como tapa inferior. Ver solución.
9. Siendo $\mathbf{F} \in C^2 (S)$ un campo vectorial y $S$ una superficie cerrada por una curva de Jordan, probar: $$\iint_S \mathrm{rot} \ \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{S} = 0$$ Como aplicación, calcular la integral sobre la superficie abierta: $$\iint_{S := x^2 + y^2 = 1, 0\leq z \leq 2} \mathrm{rot} \left (x^2 + y^2, \sqrt{x^2 +y^2} , z \right ) \mathrm{d}\mathbf{S}$$