Introducción al concepto de topología

Para comenzar a trabajar la materia, evidentemente viene siendo útil conocer la definición de topología.

(Def. Topología) Para un conjunto no vacío $X$, un subconjunto $\tau \subseteq P(X)$ se dice topología en $X$ (o lo que es lo mismo: $(X,\tau)$ es espacio topológico) cuando se verifican las siguientes propiedades:

• $\varnothing, X\in \tau$.
• La unión arbitraria de elementos de $\tau$ permanece en $\tau$. Es decir, si $\{A_i \}_{i\in I} \subseteq \tau$, ha de verificarse: $\bigcup_{i\in I} A_i \in \tau$.
• La intersección de dos elementos arbitrarios de $\tau$ sigue en $\tau$. Matemáticamente: $A_1 \cap A_2 \in \tau, \forall A_1, A_2 \in \tau$.

Observar que la tercera propiedad es equivalente, a partir de un argumento inductivo; a tener que la intersección finita de elementos de $\tau$ es de nuevo un elemento de $\tau$. Se introducen los siguientes conceptos básicos a la hora de hablar de un espacio topológico:

Siendo $(X,\tau)$ espacio topológico, a los elementos de $\tau$ se les hace denominar abiertos de la topología. A aquellos elementos $A\subseteq X$ tales que $X-A\in \tau$, se les denomina cerrados de la topología. Como notación:

$$\mathcal{C}_{\tau} := \{A\subseteq X: X-A\in \tau \}$$

Teniendo estos pilares a mano, veamos algunos ejemplos de topologías. Es importante pillar las justificaciones posteriores pues las topologías que mencionaremos ahora se trabajan a lo largo de todo el curso, y como tal: se darán por conocidas.

(Topologías básicas) Para un conjunto $X\neq \varnothing$, los siguientes conjuntos son topologías en $X$:

1. (Topología indiscreta o trivial) $\tau_1 = \{\varnothing, X \}$.
2. (Topología discreta) $\tau_2 = P(X) = \{A: A\subseteq X \}$.
3. (Topología cofinita) $\tau_3 = \{A\subseteq X: X-A \text{ es finito} \} \cup \{\varnothing \}$.

Demostración: Respecto a la topología trivial, es evidentemente que cualquier unión e intersección de abiertos de $\tau_1$ es el total o el vacío, y como tal: son elementos de $\tau_1$. La primera propiedad se verifica trivialmente así que $\tau_1$ es claramente una topología en $X$.

En cuanto a la topología discreta, evidentemente: $\varnothing, X\in P(X)$; la unión arbitraria de subconjuntos de $X$ sigue siendo un subconjunto de $X$; y la intersección finita de abiertos tiene todos sus elementos en $X$, verificando entonces $(X,\tau_2)$ ser espacio topológico.

Finalmente, escribamos bien las propiedades respecto a la topología cofinita. La primera de todas es cierta pues $\varnothing \in \tau_3$ y, partiendo de que $\varnothing$ es finito: $X-X = \varnothing \Longrightarrow X\in \tau_3$. En cuanto a la unión arbitraria de abiertos: Sean $\{A_i \}_{i\in I} \subseteq \tau_3$, queriendo ver:  $$\bigcup_{i\in I} A_i \in \tau_3$$ Si $A_i = \varnothing, \forall i\in I$; la unión claramente es el conjunto vacío, incluído en $\tau_3$. De lo contrario: $\exists i_0 \in I: A_{i_0} \neq \varnothing \Longrightarrow X-A_{i_0}$ es finito. Se tiene:  $$X-\bigcup_{i\in I} A_i = X-\bigcup_{\substack{i\in I \\ A_i \neq \varnothing}} A_i \subseteq X-A_{i_0} \text{ conjunto finito}$$ Por estar contenido en un conjunto finito, necesariamente $X-\bigcup_{i\in I} A_i$ es finito, lo cual implica, dada la definición: $\bigcup_{i\in I} A_i \in \tau_3$. En cuanto a la intersección de dos abiertos $A_1, A_2 \in \tau_3$ cualesquiera, si alguno de estos es vacío, la intersección de ambos es vacía y como tal permanece en $\tau_3$. En cualquier otro supuesto: $A_1, A_2 \in \tau_3 \setminus \{ \varnothing \} \Longrightarrow X-A_1, X-A_2$ son ambos conjuntos finitos. Se tiene:  $$X-(A_1 \cap A_2) \underset{\text{Ley de De Morgan}}{=} (X-A_1) \cup (X-A_2) \text{ conjunto finito}$$ Por tanto: $X-(A_1 \cap A_2)$ es finito $\Longrightarrow A_1 \cap A_2 \in \tau_3$. Se concluye la demostración. 

$\square$

Como comentario final, observar que los abiertos de la topología discreta se pueden escribir como $X-A: A$ es finito (pues ello asegura que $X-(X-A) = A$ sea finito). Puede ser útil en algunas demostraciones.

Problemas propuestos

1. (Métricas) Dado un conjunto $X$ no vacío, se dice que $d:X\times X \to \mathbb{R}$ es métrica (equivalentemente: $(X,d)$ es espacio métrico) cuando se verifican las tres propiedades siguientes: $$\begin{matrix} d(x,y)\geq 0 \quad , \forall x,y\in X \\ d(x,y) = d(y,x) \quad , \forall x,y\in X \\ d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \quad , \forall x,y,z\in X \end{matrix}$$ (i) Demuestra que las aplicaciones siguientes son métricas en $\mathbb{R}$: $$\begin{matrix} \mathbf{(Usual)} \ d_U : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \quad ; d_U(x,y) = |x-y|, \forall x,y\in \mathbb{R} \\ \mathbf{(Taxi)} \ d_T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \quad ; d_T(x,y) = |x|+|y|, \forall x,y\in \mathbb{R} \end{matrix}$$ Teniendo $(X,d)$ espacio métrico, es costumbre definir las bolas abiertas: $$B(x_0, \rho) = \{x\in X: d(x,x_0)<\rho \}$$ , y las cerradas: $$\bar{B}(x_0, \rho) = \{ x\in X: d(x,x_0) \leq \rho \}$$ (ii) Haz un esbozo de las bolas abiertas y cerradas respectivas a la métrica usual y la métrica taxi.
2. (Topología métrica) Sea $(X,d)$ un espacio métrico cualquiera, demuestra que: $$\tau_d := \left \{ \bigcup_{\substack{x \in A \\ \rho_x \in I}} B(x,\rho_x) \quad \text{, tal que } A\subseteq X, I\subseteq \mathbb{R}^+ \right \}$$ , conforma una topología de $X$. Con la métrica $d_U$ definida de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}$ similarmente como se hizo en el enunciado previo, a la topología métrica $(\mathbb{R}, T_u)$ se le acostumbra a denominar topología usual de $\mathbb{R}$.
3. Sean $a<b$ números reales. Muestra explícitamente que el intervalo $(a,b)$ es un abierto de la topología usual de $\mathbb{R}$. Muestra que $(a,b]$ no lo es.
4. (Examen) Siendo $X= \{ 0 \} \cup ([1,2]\cap \mathbb{Q}) \cup ]3,+\infty[ \subseteq \mathbb{R}$, se define: $$T=\{A\subseteq X: 0\in A \vee A\subseteq ]3,+\infty[ \} \cup \{ \varnothing \}$$ Pruébese que $(X,T)$ es espacio topológico.
5. Sea $X$ un conjunto no vacío y $x \in X$. Muestra que: $$T_x = \{ U\subseteq X: x\in U\} \cup \{\varnothing \}$$ es una topología de $X$.