Subespacios topológicos

El estudio de topologías inducidas por un subconjunto es particularmente útil a la hora de trabajar propiedades locales. Se define:

(Def. Topología relativaDado (X,T) espacio topológico y AX. La topología relativa a A respecto de (X,T) se define como TA:={BA:BT}.

Veamos que en efecto, se trata de una topología sobre A:

  • TA pues podemos escribir =A, siendo T.
  • ATA dada la igualdad: A=XA, con XT.
  • Dados AiTA,iI, en concreto: Ai=BiA, siendo BiT,iI. Para ver que iIAi está en la topología relativa, basta con desarrollar: iIAi=iIBiA=(iIBi)ATA, pues la unión arbitraria de BiT está en T por ser topología.
  • Dados A1,A2TA, tenemos: {A1=B1AA2=B2AtalqueB1,B2T A1A2=(B1B2)A Ya que B1B2T, necesariamente A1A2TA

En general, dado un espacio topológico (X,T) y AX, la topología relativa TA no está contenida en T. Por ejemplo, tomando (R,Tu) y A=[0,1[, U=[0,12[ es un abierto en TA, pues: U=]12,12[A; pero no es un abierto en Tu. Se tiene la siguiente proposición:

(Proposición) Dado (X,T) espacio topológico y AX, entonces A es abierto del espacio topológico si, y solo si: TAT.

Demostración: (" \Rightarrow ") Dado U \in T_A \equiv U = A' \cap A, siendo A' un abierto de T. Ya que A y A' son abiertos en la topología, su intersección es también un abierto. Resulta entonces U\in T. (" \Leftarrow ") Si T_A \subseteq T, en concreto A\in T_A \Longrightarrow A\in T.

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Directamente, a partir de la definición, logramos caracterizar los cerrados en la topología relativa.

(Proposición) Dado (X,T) espacio topológico y T_A la topología relativa a A\subseteq X. Entonces los cerrados de esta topología relativa son \mathcal{C}_A = \{C\cap A: C\in \mathcal{C}_T \}.

Demostración: " \subseteq " Dado U \in \mathcal{C}_A, por definición A-U \in T_A. En concreto: A-U = D\cap A, con D\in T. Reescribiendo la igualdad:

A-U = A \cap \overline{U} = D \cap A = A\cap D

Nos basta entonces con tomar U = \overline{D} para conseguir: U = A-D = A\cap \overline{D}, verificando evidentemente \overline{D} \in \mathcal{C}_T. " \supseteq " Sea C\cap A: C\in \mathcal{C}_T. Queremos ver que C\cap A \in \mathcal{C}_A, es decir: ¿A-(C\cap A) \in T_A?. En efecto:

A-(C\cap A) = A \cap \overline{C \cap A} = A \cap (\overline{C} \cup \overline{A}) = (A\cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{A}) = A\cap \overline{C}

Ya que C \in \mathcal{C}_T \Rightarrow \overline{C} \in T, y por lo tanto: A-(C\cap A) = A\cap \overline{C} \in T_A.

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Al igual que en la primera proposición expuesta en el artículo, se tendrá que A\subseteq X es un cerrado de (X,\tau) e.t. si, y solo si: \mathcal{C}_A \subseteq \mathcal{C}_T.


Propiedades respecto a puntos notables

Dado (X,T) espacio topológico y (A,T_A) la topología relativa de T en A\subset X, los entornos en (A,T_A) vienen dados intuitivamente como:

\mathrm{Ent}_{T_A}(x) = \{U \cap A: U \in \mathrm{Ent}(x) \ \mathrm{en} \ (X,T) \}

(compruébalo) , de manera que una base de entornos para un x\in A dado es \beta_A (x) = \{B\cap A: B\in \beta(x) \}. A efectos prácticos, resulta interesante conocer de antemano relaciones entre los puntos notables respecto de una topología, sobre cualquier topología relativa.

(Proposición) Dado (X,T) espacio topológico, D\subseteq A\subseteq X, entonces: \mathrm{Int}(D) \cap A \subseteq \mathrm{Int}_A (D).

Demostración: En efecto, sea x\in \mathrm{Int}(D) \cap A, entonces existe un elemento de la base de entornos de x: B\in \beta(x), tal que B\subseteq D; y además x\in A. Tomando este B mismo, conseguimos x\in A verificando B\cap A \subseteq B \subseteq D, siendo B\in \beta(x). Consecuentemente x\in \mathrm{Int}(D).

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El otro contenido se da exclusivamente cuando A es un abierto en (X,T). En efecto, si A\in T, dado x\in \mathrm{Int}_A(D), existe B\in \beta(x) tal que B\cap A\subseteq D, y además x\in A. Nos hace falta ver únicamente que x\in \mathrm{Int}(D). En efecto, ya que A es abierto de T que contiene a x, necesariamente A\in \mathrm{Ent}(x); y habíamos tomado B entorno de x también. Por lo tanto, B' = B\cap A \in \mathrm{Ent}(x). Ya que B' \subseteq D, conseguimos x\in \mathrm{Int}(D) como necesitábamos. Surgen propiedades también acerca de la clausura:

(Proposición) Dado (X,T) espacio topológico, D\subseteq A\subseteq X, entonces: \mathrm{Cl}_A(D) = \mathrm{Cl}(D) \cap A.

Demostración: ("\subseteq") Sea x\in \mathrm{Cl}_A(D)=\{x\in A: (B\cap A) \cap D \neq \varnothing , \forall B\in \beta(x) \}. En concreto, B\cap D \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x), por lo que x\in A \wedge x\in \mathrm{Cl}(D). ("\supseteq ") Dado x\in \mathrm{Cl}(D) \cap A, entonces para cualquier B\in \beta(x), se consigue B\cap D \neq \varnothing. En concreto, x\in A verificando (B\cap A) \cap D = (A\cap D) \cap B = D\cap B \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x) Luego x\in \mathrm{Cl}_A(D).

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