Subespacios topológicos
El estudio de topologías inducidas por un subconjunto es particularmente útil a la hora de trabajar propiedades locales. Se define:
Veamos que en efecto, se trata de una topología sobre A:
- ∅∈TA pues podemos escribir ∅=∅∩A, siendo ∅∈T.
- A∈TA dada la igualdad: A=X∩A, con X∈T.
- Dados Ai∈TA,i∈I, en concreto: Ai=Bi∩A, siendo Bi∈T,∀i∈I. Para ver que ⋃i∈IAi está en la topología relativa, basta con desarrollar: ⋃i∈IAi=⋃i∈IBi∩A=(⋃i∈IBi)∩A∈TA, pues la unión arbitraria de Bi∈T está en T por ser topología.
- Dados A1,A2∈TA, tenemos: {A1=B1∩AA2=B2∩AtalqueB1,B2∈T⟹ A1∩A2=(B1∩B2)∩A Ya que B1∩B2∈T, necesariamente A1∩A2∈TA.
En general, dado un espacio topológico (X,T) y A⊆X, la topología relativa TA no está contenida en T. Por ejemplo, tomando (R,Tu) y A=[0,1[, U=[0,12[ es un abierto en TA, pues: U=]−12,12[∩A; pero no es un abierto en Tu. Se tiene la siguiente proposición:
Demostración: (" \Rightarrow ") Dado U \in T_A \equiv U = A' \cap A, siendo A' un abierto de T. Ya que A y A' son abiertos en la topología, su intersección es también un abierto. Resulta entonces U\in T. (" \Leftarrow ") Si T_A \subseteq T, en concreto A\in T_A \Longrightarrow A\in T.
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Directamente, a partir de la definición, logramos caracterizar los cerrados en la topología relativa.
Demostración: " \subseteq " Dado U \in \mathcal{C}_A, por definición A-U \in T_A. En concreto: A-U = D\cap A, con D\in T. Reescribiendo la igualdad:
A-U = A \cap \overline{U} = D \cap A = A\cap D
Nos basta entonces con tomar U = \overline{D} para conseguir: U = A-D = A\cap \overline{D}, verificando evidentemente \overline{D} \in \mathcal{C}_T. " \supseteq " Sea C\cap A: C\in \mathcal{C}_T. Queremos ver que C\cap A \in \mathcal{C}_A, es decir: ¿A-(C\cap A) \in T_A?. En efecto:
A-(C\cap A) = A \cap \overline{C \cap A} = A \cap (\overline{C} \cup \overline{A}) = (A\cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{A}) = A\cap \overline{C}
Ya que C \in \mathcal{C}_T \Rightarrow \overline{C} \in T, y por lo tanto: A-(C\cap A) = A\cap \overline{C} \in T_A.
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Al igual que en la primera proposición expuesta en el artículo, se tendrá que A\subseteq X es un cerrado de (X,\tau) e.t. si, y solo si: \mathcal{C}_A \subseteq \mathcal{C}_T.
Propiedades respecto a puntos notables
Dado (X,T) espacio topológico y (A,T_A) la topología relativa de T en A\subset X, los entornos en (A,T_A) vienen dados intuitivamente como:
\mathrm{Ent}_{T_A}(x) = \{U \cap A: U \in \mathrm{Ent}(x) \ \mathrm{en} \ (X,T) \}
(compruébalo) , de manera que una base de entornos para un x\in A dado es \beta_A (x) = \{B\cap A: B\in \beta(x) \}. A efectos prácticos, resulta interesante conocer de antemano relaciones entre los puntos notables respecto de una topología, sobre cualquier topología relativa.
Demostración: En efecto, sea x\in \mathrm{Int}(D) \cap A, entonces existe un elemento de la base de entornos de x: B\in \beta(x), tal que B\subseteq D; y además x\in A. Tomando este B mismo, conseguimos x\in A verificando B\cap A \subseteq B \subseteq D, siendo B\in \beta(x). Consecuentemente x\in \mathrm{Int}(D).
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El otro contenido se da exclusivamente cuando A es un abierto en (X,T). En efecto, si A\in T, dado x\in \mathrm{Int}_A(D), existe B\in \beta(x) tal que B\cap A\subseteq D, y además x\in A. Nos hace falta ver únicamente que x\in \mathrm{Int}(D). En efecto, ya que A es abierto de T que contiene a x, necesariamente A\in \mathrm{Ent}(x); y habíamos tomado B entorno de x también. Por lo tanto, B' = B\cap A \in \mathrm{Ent}(x). Ya que B' \subseteq D, conseguimos x\in \mathrm{Int}(D) como necesitábamos. Surgen propiedades también acerca de la clausura:
Demostración: ("\subseteq") Sea x\in \mathrm{Cl}_A(D)=\{x\in A: (B\cap A) \cap D \neq \varnothing , \forall B\in \beta(x) \}. En concreto, B\cap D \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x), por lo que x\in A \wedge x\in \mathrm{Cl}(D). ("\supseteq ") Dado x\in \mathrm{Cl}(D) \cap A, entonces para cualquier B\in \beta(x), se consigue B\cap D \neq \varnothing. En concreto, x\in A verificando (B\cap A) \cap D = (A\cap D) \cap B = D\cap B \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x) Luego x\in \mathrm{Cl}_A(D).
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