Subespacios topológicos

El estudio de topologías inducidas por un subconjunto es particularmente útil a la hora de trabajar propiedades locales. Se define:

(Def. Topología relativa) Dado $(X,T)$ espacio topológico y $A\subseteq X$. La topología relativa a $A$ respecto de $(X,T)$ se define como $T_A := \{B\cap A: B\in T \}$.

Veamos que en efecto, se trata de una topología sobre $A$:

• $\varnothing \in T_A$ pues podemos escribir $\varnothing = \varnothing \cap A$, siendo $\varnothing \in T$.
• $A \in T_A$ dada la igualdad: $A = X\cap A$, con $X\in T$.
• Dados $A_i \in T_A, i\in I$, en concreto: $A_i = B_i \cap A$, siendo $B_i \in T, \forall i \in I$. Para ver que $\bigcup_{i\in I} A_i$ está en la topología relativa, basta con desarrollar: $$\bigcup_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I} B_i \cap A = \left ( \bigcup_{i\in I} B_i \right ) \cap A \in T_A$$, pues la unión arbitraria de $B_i \in T$ está en $T$ por ser topología.
• Dados $A_1, A_2 \in T_A$, tenemos: $$\begin{cases} A_1 = B_1 \cap A \\ A_2 = B_2 \cap A \end{cases} \mathrm{tal \, que} \, B_1,B_2\in T \, \Longrightarrow \ A_1 \cap A_2 = (B_1 \cap B_2) \cap A$$ Ya que $B_1 \cap B_2 \in T$, necesariamente $A_1 \cap A_2 \in T_A$. 

En general, dado un espacio topológico $(X,T)$ y $A\subseteq X$, la topología relativa $T_A$ no está contenida en $T$. Por ejemplo, tomando $(\mathbb{R}, T_u)$ y $A=[0,1[$, $U = [0,\frac{1}{2}[$ es un abierto en $T_A$, pues: $U = ]-\frac{1}{2} , \frac{1}{2} [ \cap A$; pero no es un abierto en $T_u$. Se tiene la siguiente proposición:

(Proposición) Dado $(X,T)$ espacio topológico y $A\subseteq X$, entonces $A$ es abierto del espacio topológico si, y solo si: $T_A \subseteq T$.

Demostración: $(" \Rightarrow ")$ Dado $U \in T_A \equiv U = A' \cap A$, siendo $A'$ un abierto de $T$. Ya que $A$ y $A'$ son abiertos en la topología, su intersección es también un abierto. Resulta entonces $U\in T$. $(" \Leftarrow ")$ Si $T_A \subseteq T$, en concreto $A\in T_A \Longrightarrow A\in T$.

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Directamente, a partir de la definición, logramos caracterizar los cerrados en la topología relativa.

(Proposición) Dado $(X,T)$ espacio topológico y $T_A$ la topología relativa a $A\subseteq X$. Entonces los cerrados de esta topología relativa son $\mathcal{C}_A = \{C\cap A: C\in \mathcal{C}_T \}$.

Demostración: $" \subseteq "$ Dado $U \in \mathcal{C}_A$, por definición $A-U \in T_A$. En concreto: $A-U = D\cap A$, con $D\in T$. Reescribiendo la igualdad:

$$A-U = A \cap \overline{U} = D \cap A = A\cap D$$

Nos basta entonces con tomar $U = \overline{D}$ para conseguir: $U = A-D = A\cap \overline{D}$, verificando evidentemente $\overline{D} \in \mathcal{C}_T$. $" \supseteq "$ Sea $C\cap A: C\in \mathcal{C}_T$. Queremos ver que $C\cap A \in \mathcal{C}_A$, es decir: ¿$A-(C\cap A) \in T_A$?. En efecto:

$$A-(C\cap A) = A \cap \overline{C \cap A} = A \cap (\overline{C} \cup \overline{A}) = (A\cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{A}) = A\cap \overline{C}$$

Ya que $C \in \mathcal{C}_T \Rightarrow \overline{C} \in T$, y por lo tanto: $A-(C\cap A) = A\cap \overline{C} \in T_A$.

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Al igual que en la primera proposición expuesta en el artículo, se tendrá que $A\subseteq X$ es un cerrado de $(X,\tau)$ e.t. si, y solo si: $\mathcal{C}_A \subseteq \mathcal{C}_T$.

Propiedades respecto a puntos notables

Dado $(X,T)$ espacio topológico y $(A,T_A)$ la topología relativa de $T$ en $A\subset X$, los entornos en $(A,T_A)$ vienen dados intuitivamente como:

$$\mathrm{Ent}_{T_A}(x) = \{U \cap A: U \in \mathrm{Ent}(x) \ \mathrm{en} \ (X,T) \}$$

(compruébalo) , de manera que una base de entornos para un $x\in A$ dado es $\beta_A (x) = \{B\cap A: B\in \beta(x) \}$. A efectos prácticos, resulta interesante conocer de antemano relaciones entre los puntos notables respecto de una topología, sobre cualquier topología relativa.

(Proposición) Dado $(X,T)$ espacio topológico, $D\subseteq A\subseteq X$, entonces: $\mathrm{Int}(D) \cap A \subseteq \mathrm{Int}_A (D)$.

Demostración: En efecto, sea $x\in \mathrm{Int}(D) \cap A$, entonces existe un elemento de la base de entornos de $x$: $B\in \beta(x)$, tal que $B\subseteq D$; y además $x\in A$. Tomando este $B$ mismo, conseguimos $x\in A$ verificando $B\cap A \subseteq B \subseteq D$, siendo $B\in \beta(x)$. Consecuentemente $x\in \mathrm{Int}(D)$.

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El otro contenido se da exclusivamente cuando $A$ es un abierto en $(X,T)$. En efecto, si $A\in T$, dado $x\in \mathrm{Int}_A(D)$, existe $B\in \beta(x)$ tal que $B\cap A\subseteq D$, y además $x\in A.$ Nos hace falta ver únicamente que $x\in \mathrm{Int}(D)$. En efecto, ya que $A$ es abierto de $T$ que contiene a $x$, necesariamente $A\in \mathrm{Ent}(x)$; y habíamos tomado $B$ entorno de $x$ también. Por lo tanto, $B' = B\cap A \in \mathrm{Ent}(x)$. Ya que $B' \subseteq D$, conseguimos $x\in \mathrm{Int}(D)$ como necesitábamos. Surgen propiedades también acerca de la clausura:

(Proposición) Dado $(X,T)$ espacio topológico, $D\subseteq A\subseteq X$, entonces: $\mathrm{Cl}_A(D) = \mathrm{Cl}(D) \cap A$.

Demostración: $("\subseteq")$ Sea $x\in \mathrm{Cl}_A(D)=\{x\in A: (B\cap A) \cap D \neq \varnothing , \forall B\in \beta(x) \}.$ En concreto, $B\cap D \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x)$, por lo que $x\in A \wedge x\in \mathrm{Cl}(D)$. $("\supseteq ")$ Dado $x\in \mathrm{Cl}(D) \cap A$, entonces para cualquier $B\in \beta(x)$, se consigue $B\cap D \neq \varnothing$. En concreto, $x\in A$ verificando $$(B\cap A) \cap D = (A\cap D) \cap B = D\cap B \neq \varnothing, \forall B\in \beta(x)$$ Luego $x\in \mathrm{Cl}_A(D)$.

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