Teorema Multinomial

En este post trabajamos y estudiamos expresiones del estilo $(x_1 + \dotsb + x_n)^k$, donde $x_i$ son reales y $k$ es un entero cualquiera. Como introducción, recordamos el ya conocido Teorema del Binomio:

(Teorema Binomial) Para cualesquiera $x,y\in \mathbb{R}$ y $n\in \mathbb{N}$, se tiene: $$(x+y)^n = \sum_{k=0} ^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$$

Demostración: Se puede realizar por inducción de manera relativamente sencilla. Para variar, razonémoslo por combinatoria. Por ejemplo: $$(x+y)^2 = (x+y)(x+y) = x^2 +\mathbf{xy + yx}+ y^2  = x^2 + \mathbf{2}xy+ y^2$$ , teniendo que el coeficiente de $x^1 y^1$ es el número de combinaciones sin repetición de $2$ elementos tomados de uno en uno. Similarmente:

$$(x+y)^3 = (\mathbf{x}+y) (\mathbf{x}+y) (\mathbf{x}+y) = (x^2 + 2xy + y^2) (x+y) = x^3 + \mathbf{3}x^2y + 3xy^2 + y^3$$

, teniendo que el coeficiente de $x^2 y$ en el desarrollo de $(x+y)^3$ es el número de formas de disponer de dos "$x$s" de un conjunto de $3$; o bien el número de formas de tomar una $"y"$ de un conjunto de $3$. En general, sumaremos tantos $x^k y^{n-k}$ como formas halla de seleccionar $k$ elementos de un conjunto de $n$, o bien $n-k$ de un conjunto de $n$. Precisamente $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ veces.

$\square$

Hemos justificado de paso una de las igualdades clásicas de los números combinatorios:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \quad , \forall n,k \in \mathbb{N}: n\geq k \qquad (1)$$

, pues un polinomio siempre tiene unicidad en sus coeficientes, y nos podemos fijar en la potencia de cualquiera de las dos variables que intervienen para conocer el coeficiente recién justificado. El teorema binomial puede ser relevante para manejar algunas sumas de combinatorios de manera genérica. He dejado propuestos algunos ejercicios relativo a ello. 

Vamos ahora con la novedad: Un teoremazo que nos permitirá trabajar y extender el resultado binomial a la conjugación de $n$ variables:

(Teorema Multinomial) Siendo $x_i \in \mathbb{R}, i=1,...,n$; y $k \in \mathbb{N}$, se tiene:

$$(x_1 + \dotsb + x_n)^k = \sum_{\substack{i_1, ..., i_n \in \mathbb{N} \\ i_1 + \dotsb + i_n = k}} \binom{k}{i_1 \ i_2 \ \dotsb \ i_n} x_1 ^{i_1} x_2 ^{i_2} \dotsb x_n ^{i_n}$$

, donde: $\displaystyle \binom{k}{i_1 \ i_2 \ \dotsb \ i_n} := \frac{k!}{i_1 ! i_2 ! \dotsb i_n !} (= PR_k ^{i_1 \, i_2 \, \dotsb i_n}).$

Demostración: Llamemos $\alpha (i_1, ..., i_n)$ al coeficiente de $x_1^{\alpha_1} \dotsb x_n^{\alpha_n}$, de manera que queremos ver:

$$\alpha (i_1, ..., i_n) := \binom{k}{i_1 , ..., i_n}$$

Cualquier monomio $\alpha(n_1,n_2,..., n_t) x_1^{n_1} x_2^{n_2} \dotsb x_t^{n_t}$ resultante de $(x_1+x_2+ \dotsb+ x_t)^n$, ya que los $x_i$ están elevados a 1, es tal que: $n_1 + n_2+ \dotsb + n_t = n$. Por lo tanto, es trivial afirmar:

$$(x_1 + x_2 + \dotsb + x_t)^n = \sum_{\substack{i_1 + i_2 + \dotsb + i_n = n \\ n_i \ \mathrm{entero \ positivo}}} \alpha (i_1, i_2, ..., i_n) x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dotsb x_n ^{i_n}$$

Ahora bien, al igual que pasaba con el Teorema del Binomio, las potencias de $x_j ^{i_j}$ vienen seleccionadas de un conjunto previo. Así, suponiendo $i_j \neq 0, j =1,...,n$; el coeficiente $\alpha (i_1, i_2,..., i_n)$ viene dado por la posibilidad de:

• $x_1$: Tomar $i_1$ elementos del conjunto inicial $\{1,...,k\}$.
• $x_2$: Tomar $i_2$ elementos de $k-i_1$ disponibles.

Así hasta llegar a:

• $x_{n-1}$: Tomar $i_{n-1}$ de los $k-i_1-\dotsb - i_{n-2}$ restantes.
• $x_{n}$: Ya que $i_n = k-i_1 - \dotsb - i_{n-1}$, la potencia de $x_n$ queda determinada.

Aplicando la regla del producto, resulta un total de:

$$\begin{eqnarray} \alpha (i_1, ..., i_n) & = & \binom{k}{i_1} \cdot \binom{k-i_1}{i_2} \cdot \dotsb \cdot \binom{k-i_1 - \dotsb - i_{n-2}}{i_{n-1}} = \\ & = & \frac{k!}{i_1 ! (k-i_1)!} \frac{(k-i_1)!}{i_2 ! (k-i_1 - i_2)!} \dotsb \frac{(k-i_1 - \dotsb - i_{n-2})!}{i_{n-1}! (k-i_1 - \dotsb - i_{n-1})!}  = \\ & = & \frac{k!}{i_1 ! \cdot i_2 ! \dotsb i_{n-1}! \cdot i_n !} \quad , \text{ donde hemos usado: } k-i_1- \dotsb - i_{n-1} = i_n  \end{eqnarray}$$

En caso de existir alguna potencia redundante, trivialmente podemos reducir: $\prod_{j=1} ^n x_j ^{i_j} = \prod_{j\in J} x_j ^{i_j}$, donde $J=\{j\in \{1, ..., n \}: i_j \neq 0 \}$. Trabajando estos índices, la prueba recién hecha se reproduce exactamente igual, así que no hay ningún percance.

 $\square$

Es importante destacar que el recién trabajado teorema multinomial, únicamente trabaja potencias globales no negativas. En caso de tener $(x_1 +\dotsb + x_n)^{-n}, n\in \mathbb{N}$, habrá que introducir un desarrollo en serie oportuno.

Antes de nada, hemos de definir el combinatorio de argumento negativo. Para ello, nos podemos aprovechar de la expresión original: $$ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1) \dotsb (n-k+1)}{k!} \quad , n,k \in \mathbb{N}: n\geq k$$

Así, podemos definir:

$$\begin{eqnarray} \binom{-n}{k} & := & \frac{-n (-n-1) (-n-2) \dotsb (-n-k+1)}{k!} = (-1)^n \frac{n (n+1) \dotsb (n+k-1)}{k!} = \\ & = & (-1)^n \binom{n+k-1}{k} \quad , n,k \in \mathbb{N}\end{eqnarray}$$

Como consecuencia directa: $$(1+x)^{-n} = \sum_{k\geq 0} (-1)^k \binom{n+k-1}{k} x^k \quad, \forall x\in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}$$ , y como tal: $$(x+y)^{-n} = y^{-n} \left ( 1+ \frac{x}{y} \right )^{-n} = \frac{1}{y^n} \sum_{k\geq 0} (-1)^k \binom{n+k-1}{k} \left ( \frac{x}{y} \right )^k \quad, \forall n\in \mathbb{N}, \forall x,y\in \mathbb{R}: y\neq 0$$

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En el desarrollo de $(1+x)^n$, el coeficiente de $x^4$ es 126 veces el de $x^9$. Hallar $n\geq 4$.
2. Hallar el coeficiente de:
1. $x^3y^2$ en el desarrollo de $(x+y)^5$.
2. $x^4 y^2$ en el desarrollo de $(x+2y)^4$.
3. $x^2 y^3 z$ en el desarrollo de $(x-z+2y)^6$.
4. $xyz^2t$ en el desarrollo de $(3x-y+5z+2t)^5$.
5. $x^{12}$ en el desarrollo de $(x^2 + x^3 +\dotsb + x^6)^4$.
3. Demostrar: $$\binom{r}{m} - \binom{r}{m+1} \binom{m+1}{1} + \binom{r}{m+2} \binom{m+2}{2} + \dotsb + (-1)^{r-m} \binom{r}{r} \binom{r}{r-m}=0$$ , $\forall r,m \in \mathbb{N}: r>m$.
4. Demostrar las siguientes sumas: $$\sum_{k=0} ^n \binom{n}{k} = 2^n \quad ; \quad \sum_{k=0} ^n k \binom{n}{k} = 2^{n-1}n \quad ; \quad \sum_{k=0} ^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0$$
5. Si la suma de los coeficientes en la expansión de $(1+2x)^n$ es $6561$, hallar el valor del mayor coeficiente en dicha expansión. Solución.
6. (*) Determinar el valor de la suma: $$\sum_{k=0} ^{n/2} \binom{n-k}{k}$$
7. (DE EXAMEN) Dada la siguiente suma: $$f(x,y,z) = \sum_{\substack{n_1 + n_2 + n_3 = 10 \\ n_i \text{ entero positivo}}} \binom{10}{n_1 \ n_2 \ n_3} 2^{n_1 +n_2} 3^{n_1 + n_3} 5^{n_2 + n_3} x^{n_1} y^{n_2} z^{n_3}$$
1. Determinar la cantidad de sumandos en $f$.
2. Hallar la suma de los coeficientes.
3. Hallar los coeficientes de los monomios: $x^2y^3z^6, x^2y^3z^5$.
4. Hallar la suma de los coeficientes de los monomios que toman la forma $x^2 y^{n_2} z^{n_3}$.