Tomando ya acción de una función $f: [a,b] \to \mathbb{R}$, las siguientes definiciones son cruciales:
Trivialmente, se tiene que $U(f,\mathcal{P})\geq L(f,\mathcal{P})$, para toda partición $\mathcal{P}$ de un intervalo cerrado no vacío; puesto que $M_k (t_{k}-t_{k-1}) \geq m_k (t_{k}-t_{k-1})$, para cualquier $k\in \{1,..., n \}$. Trabajamos el siguiente lema:
Lema
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Proof: Consideramos las particiones: $$\mathcal{P}: a=t_0 < t_1 < ... < t_{j-1} < t_j < ... < t_n = b$$ $$\mathcal{Q}: a= t_0 < t_1 < ... < t_{j-1} < \mathbf{t'} < t_j < ... < t_n = b$$ Respecto de la suma inferior, resulta: $$L(f,\mathcal{P}) = m_1 (t_1 - t_0) + ... + m_j(t_j - t_{j-1})+ ...+ m_n(t_n - t_{n-1})$$ $$L(f,\mathcal{Q}) = m_1 (t_1 - t_0) +... + m'_j(t' - t_{j-1}) + m''_j(t_j - t') +...+ m_n(t_n - t_{n-1})$$ Si hacemos $L(f,\mathcal{Q})- L(f,\mathcal{P})$, llegamos a: $$L(f,\mathcal{Q})- L(f,\mathcal{P}) = m'_j(t' - t_{j-1}) + m''_j(t_j - t') - m_j (t_j - t_{j-1})$$ Para verificar que la diferencia previa es mayor o igual que cero, debemos ver primero que $m'_j, m''_j \geq m_j$. En el primer caso, observemos que el conjunto que define a $m'_j$ está contenido en el genérico planteado. Matemáticamente: $$\{ f(x) : x\in [t_{j-1},t'] \} \subseteq \{ f(x): x\in [t_{j-1}, t_j] \}$$ En concreto, dado que todo elemento del primer conjunto está contenido en el segundo: sigue entonces que el ínfimo del conjunto de la derecha sirve como cota inferior del conjunto de la izquierda. Matemáticamente hablando: $$\xi \geq \inf \{ f(x): x\in [t_{j-1}, t_j] \} = m_j \quad , \forall \xi \in \{ f(x) : x\in [t_{j-1},t'] \}$$ Dado que el conjunto que introduce la nueva partición es no vacío y acotado, podemos garantizar la existencia de un ínfimo del mismo. En concreto, se tendrá que $\inf \{ f(x) : x\in [t_{j-1},t'] \} = m'_j \geq m_j$. Se procede de forma igual para el conjunto $\{f(x): x\in [t', t_k] \}$, llegando entonces a $m_j'' \geq m_j$. Partiendo de las desigualdades obtenidas, podemos concluir: $$L(f,\mathcal{Q})- L(f,\mathcal{P}) \geq m_j (t' - t_{j-1}) + m_j (t_j - t') - m_j (t_j - t_{j-1}) = 0$$ En el caso de la desigualdad con la suma superior, se tendrá que el supremo será aplicable como cota superior a ambos intervalos. De forma que, mayorando como se corresponde (de forma similar a como hemos hecho): se llega al resultado.
$\square$
Proof: Basta con considerar $\mathcal{P} = \mathcal{P}_1 \cup \mathcal{P}_2$ unión de ambas particiones. En base al lema que hemos probado:
$$L(f,\mathcal{P}_1) \leq L(f,\mathcal{P}) \leq U(f,\mathcal{P}) \leq U(f,\mathcal{P}_2)$$
$\square$
En base al teorema que acabamos de ver, podemos destacar un hecho importante. Dado que las sumas superiores e inferiores están acotadas superiormente e inferiormente respectivamente, podemos afirmar que para toda partición $\mathcal{P}$ de un intervalo cerrado:
$$\begin{cases} L(f,\mathcal{P}) \leq \sup \{ L(f, \mathcal{P}) \} \leq U(f,\mathcal{P}) \\ L(f,\mathcal{P}) \leq \inf \{ U(f, \mathcal{P}) \} \leq U(f,\mathcal{P}) \end{cases}$$
La tentación aquí es escribir $\sup \{ L(f, \mathcal{P}) \} = \inf \{ U(f, \mathcal{P}) \}$, pero la igualdad no tiene por qué ser cierta. Es esta sutileza la que diferencia a una función integrable de otra que no lo es:
En la propia definición estamos afirmando que dicho numerito (el valor de la integral) es el único que cumple:
$$L(f,\mathcal{P}) \leq \int_a ^b f(x) \mathrm{d}x \leq U(f,\mathcal{P})$$
, para toda partición $\mathcal{P}$ del intervalo trabajado. Podemos estudiar la integrabilidad de una función con la siguiente caracterización $\varepsilon - \mathcal{P}$:
Proof: $"(\Rightarrow)"$ Suponemos que tenemos una función $f$ acotada e integrable en $[a,b]$. Tenemos entonces que: $$\sup \{ L(f, \mathcal{P}) \} = \inf \{ U(f, \mathcal{P}) \}$$
, siendo $\mathcal{P}$ partición del intervalo $[a,b]$. Dadas dos particiones arbitrarias $\mathcal{P}', \mathcal{P}''$ del intervalo cerrado, dado que la igualdad anterior es establecida para cualquiera de las particiones a considerar, se tiene:
$$U(f, \mathcal{P}') - L(f, \mathcal{P}'') < \varepsilon \quad , \forall \varepsilon >0$$
Tomamos ahora la partición $\mathcal{P}= \mathcal{P}' \cup \mathcal{P}''$. Para esta partición generada, se cumplen dos desigualdades: $$\begin{cases} U(f,\mathcal{P}) \leq U(f,\mathcal{P}') \\ L(f,\mathcal{P}) \geq L(f,\mathcal{P}'') \end{cases} \Longrightarrow U(f,\mathcal{P}) - L(f, \mathcal{P}) \leq U(f, \mathcal{P}') - L(f,\mathcal{P}'') < \varepsilon$$
$"(\Leftarrow)"$ Partimos de: $\forall \varepsilon >0, \exists \mathcal{P}$ partición de $[a,b]: U(f,\mathcal{P})- L(f,\mathcal{P}) < \varepsilon$. Por propiedades de supremo e ínfimo:
$$\begin{multline} \begin{cases} \inf \{ U(f,P) \} \leq U(f,\mathcal{P}) \\ \sup \{L(f,P) \} \geq L(f,\mathcal{P}) \end{cases} \Longrightarrow \inf \{ U(f,P) \} - \sup \{L(f,P) \} \leq \\ \leq U(f,\mathcal{P})- L(f,\mathcal{P}) < \varepsilon \end{multline}$$
$, \forall \varepsilon > 0 $. Tomando el principio y el final de la cadena de desigualdades, tenemos que lo anterior es equivalente a $\inf \{ U(f,\mathcal{P}) \} = \sup \{ L(f,\mathcal{P}) \} \Leftrightarrow_{\mathrm{def}} f$ integrable en $[a,b]$.
$\square$
En el día a día (o sea, haciendo ejercicios xD), la definición y el teorema de caracterización pueden ser evadidos haciendo uso de los siguientes teoremas básicos:
Proof: Partimos de la continuidad de la función en el cerrado $[a,b].$ En un principio, el teorema de acotación de funciones continuas en un intervalo cerrado nos dice que $f$ es acotada en $[a,b]$, por lo que tiene sentido plantearse la integrabilidad de la función. Por el Teorema de Heine, $f\in \mathcal{UC}([a,b])$. Esto es: $$\forall \varepsilon ' >0, \exists \delta' >0: |x-y|< \delta' \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon '$$
Consideramos $\varepsilon ' = \frac{\varepsilon}{b-a}$:
$$\Longrightarrow \forall \varepsilon>0 , \exists \delta >0 : |x-y|< \delta \Longrightarrow |f(x) - f(y)| < \frac{\varepsilon}{b-a}$$
Sea $\mathcal{P} := \{t_0, ..., t_n \}$ partición del intervalo $[a,b]$ distribuida en partes iguales, esto es: $|t_{i}-t_{i-1}| = |t_j - t_{j-1}|, \forall i,j\in \{1,...,n \}$. Estudiamos $M_k - m_k$:
$$M_k - m_k = \sup_{x\in [t_{k-1}, t_k]} f(x) - \inf_{x\in [t_{k-1}, t_k]} f(x) = f(M) - f(m) < \frac{\varepsilon}{b-a} $$
, para algunos $M,m \in [t_{k-1}, t_k], \forall k\in \{1,...,n \}$. Dichos $M$ y $m$ existen dado que, por ser función continua en el cerrado, el teorema de Weierstrass garantiza la existencia de máximo y mínimo absoluto en el intervalo (en nuestro caso, el supremo y el ínfimo de los valores de la función). Ahora sí:
$$\begin{eqnarray} U(f,\mathcal{P})- L(f,\mathcal{P}) & = & \sum_k M_k (t_k - t_{k-1}) - \sum_k m_k (t_k - t_{k-1}) = \nonumber \\ & = & \sum_k (M_k - m_k)(t_k - t_{k-1}) < n\cdot \frac{b-a}{n} \cdot \frac{\varepsilon}{b-a} = \varepsilon \quad , \forall \varepsilon >0 \nonumber \end{eqnarray}$$
Sigue que $f$ es Riemann-integrable.
$\square$
Proof: Suponemos, sin pérdida de generalidad, que $f$ es monótona creciente. Para el caso de $f$ decreciente, bastaría con estudiar y aplicar la demostración que procede para $-f$. Sea $\mathcal{P}:= \{t_0, ..., t_n \}$ una partición del intervalo $[a,b]$ distribuida en partes iguales. Al igual que en la prueba anterior, existen $M,m \in [t_{k-1},t_k]$ tales que $M_k =f(M), m_k = f(m)$. Se consigue:
$$\begin{eqnarray} U(f,\mathcal{P})- L(f,\mathcal{P}) &=& \sum_k (M_k - m_k)(t_k - t_{k-1}) = \\ &=& \frac{b-a}{n} \sum_{k} f(t_k) - f(t_{k-1}) = \frac{b-a}{n} (f(b)-f(a)) \end{eqnarray}$$
Fijando $n = || \mathcal{P} || -1$ mayor que $\frac{b-a}{\varepsilon} (f(b)-f(a))$, ocurre:
$$U(f,\mathcal{P}) - L(f,\mathcal{P}) = \frac{b-a}{n} (f(b)-f(a)) < \varepsilon \quad , \forall \varepsilon >0$$
Sigue entonces que $f$ es Riemann-integrable.
$\square$
Nos pasamos ahora a trabajar el conocidísimo Teorema Fundamental del Cálculo, pero antes debemos probar el siguiente resultado:
Proof: Dada la continuidad de la función, hace total sentido plantear la integrabilidad de la misma por uno de los teoremas que acabamos de probar. Dicha continuidad motiva también, partiendo del Teorema de Weierstrass, a considerar extremos absolutos de $f$ en $[a,b]$. Pongamos $f(m) = \min_{x\in [a,b]} f(x)$, $f(M)=$ $\max_{x\in [a,b]}f(x)$, resultando así:
$$m(b-a) = \int_a ^b m \mathrm{d}x \leq \int_a ^b f(x) \mathrm{d}x \leq \int_a ^b M \mathrm{d}x = M(b-a)$$
Reescribiendo:
$$m \leq \frac{1}{b-a}\int_a ^b f(x) \mathrm{d}x \leq M$$
Por ser un valor comprendido entre $m$ y $M$, el teorema del valor intermedio para funciones continuas asegura que $f$ toma todos los valores en $[m,M]$. En concreto, debe existir un $c\in [a,b]$ tal que:
$$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a ^b f(x) \mathrm{d}x \Longleftrightarrow \int_a ^b f(x) \mathrm{d}x = f(c) (b-a) \quad , c\in [a,b]$$
$\square$
- Entonces $F \in \mathcal{C}([a,b])$.
- Si $f\in \mathcal{C}([a,b])$, entonces $F\in \mathcal{D}([a,b])$, verificando $F' = f$ en $[a,b]$.
Proof: Para verificar la continuidad de $F$, vemos que es uniformemente continua en $[a,b]$. Sean $x,y \in [a,b]$:
$$|F(x) - F(y)| = \left | \int_{a}^x f - \int_a ^y f \right | = \left | \int_y ^x f \right | \leq M |x-y| < \varepsilon$$
, siendo $M\geq 0: M \geq |f(x)|, \forall x\in[a,b]$; tomando $\delta = \frac{\varepsilon}{M} >0$ se verifica la definición de continuidad uniforme en el intervalo cerrado. Para probar el segundo punto, recurrimos al límite que define la derivada en un punto:
$$F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\int_{a} ^{x+h} f - \int_a ^{x}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\int_x ^{x+h} f}{h}$$
Por el Teorema del Valor Medio Integral, existe un $c\in [x,x+h]$ tal que:
$$F'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(c) h}{h} = \lim_{h\to 0} f(c) = f(x)$$
, donde la última igualdad es establecida por la continuidad de $f$ en el intervalo $[x, x+h] \sim \{x \}, h\to 0.$
$\square$
Terminamos la publicación hablando de las preciadas sumas de Riemann:
Se consigue probar el siguiente resultado:
Proof: Trivialmente, el valor de $f(x_k): x_k \in [t_k, t_{k-1}]$ es comprendido entre $m_k$ y $M_k$ (estos eran ínfimo y supremo de los valores de $f$ en el intervalo). Se deduce directamente que:
$$L(f,\mathcal{P})=\sum_{k=1}^n m_k (t_k - t_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n f(x_k)(t_k - t_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n M_k (t_k - t_{k-1}) = U(f,\mathcal{P})$$
Además, por ser función continua en el cerrado, esta es integrable en el mismo. Por la caracterización del teorema de Cauchy:
$$\forall \varepsilon>0 , \exists \mathcal{P} \: \mathrm{partition}: U(f,\mathcal{P}) - L(f,\mathcal{P}) < \varepsilon$$
Habíamos visto también que la integral definida $\int_a ^b f$ era el único valor que cumplía el ser mayor que la suma inferior y menor que la suma superior del cualquier partición planteada del intervalo cerrado $[a,b]$. Tenemos los ingredientes para demostrar la igualdad, pues de todo lo anterior, se deduce:
$$\left | \sum_{k=1}^n f(x_k)(t_k - t_{k-1}) - \int_a ^b f(x) \: \mathrm{d}x \right | \leq U(f,\mathcal{P})- L(f,\mathcal{P}) < \varepsilon$$
Esto demuestra la igualdad.
$\square$
Lo interesante y realmente útil del anterior teorema es que cuando escogemos la partición particular $\mathcal{P}:= \{t_0, ..., t_n \}$ respecto del intervalo $[a,b]$ distribuida uniformemente, se puede concluir: $$\int_a ^b f(x) \: \mathrm{d}x = \lim_{n\to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left ( a+ k \frac{b-a}{n} \right )$$ El caso más cómodo a la hora de trabajar es $a=0, b=1$: $$\int_0 ^1 f(x) \: \mathrm{d}x = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1} ^n f \left ( \frac{k}{n} \right )$$
Ejercicios:
- Determinar si las siguientes funciones son Riemann integrables en sus respectivos dominios: $$ \begin{eqnarray} f: \left [0, \frac{\pi}{2} \right ] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longrightarrow & f(x) = \begin{cases} \cos^2(x) & , x\in \mathbb{Q} \\ 0 & , \mathrm{otro \: caso} \end{cases} \end{eqnarray}$$ $$g(x) = \begin{cases} a & , 0 \leq x < \frac{a+b}{2} \\ \frac{a+b}{2} & , x=\frac{a+b}{2} \\ b & , \frac{a+b}{2} < x \leq b \end{cases} \quad h(x) = \begin{cases} x \mathrm{sgn}(\sin 1/x) & , x\in [-1,1]\setminus \{ 0 \} \\ 0 & , x=0 \end{cases}$$ , donde $\mathrm{sgn}: \mathbb{R} \to \{ -1,0,1\}$ es la función signo.
- Estudiar la integrabilidad de la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ definida como: $f(x) = \lim_{n\to +\infty} \sin^{2n} (24\pi x)$.
- Sea $f$ una función acotada con un número finito de discontinuidades de salto no infinito (evitables o de salto finito) en $\mathcal{D}\subseteq \mathrm{Dom}(f)$. Probar que $f$ es Riemann integrable en $\mathcal{D}$.
- Sea $\varphi: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ una función continua tal que $$\varphi(x) \leq \int_0 ^x \varphi(t) \mathrm{d}t, \quad , \forall x\geq 0$$ Probar $\varphi(x) = 0, \forall x\geq 0$.
- Sean $f,g,h$ funciones reales acotadas en $[a,b]$ tales que $f(x)\leq g(x)\leq h(x), \forall x\in [a,b].$ Si $f$ y $h$ son funciones integrables tales que $\int_a ^b f = \int_a ^b h$, demuestra que $g$ es también integrable, con $\int_a ^b g= I$.
- Sea $f$ una función continua en $[0,1].$ Probar la igualdad: $$\lim_{n\to +\infty} \int_0 ^1 f(x^n) \mathrm{d}x = f(0)$$ Además, verificar que se cumple: $$\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{\int_0 ^1 |f(x)|^n \mathrm{d}x} = \max_{x\in [a,b]} f(x)$$
- Expresar como integrales definidas las siguientes sumas de Riemann: $$\lim_{n\to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{96i +20n}{8in+n^2} \quad \lim_{n\to +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{\pi^2 i}{n^2} \sin^2 \left ( \frac{\pi i}{n} \right ) \quad \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{E(n/2)} \cos \left ( \frac{k\pi}{n} \right )$$ , donde $E(x)$ denota la función parte entera.
- Calcular los siguientes límites: $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} \int_0 ^{x^2} e^{\sqrt{1+t}} \mathrm{d}t \quad \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\log x} \int_{x^2} ^x \frac{e^t -1}{\sin t^2} \mathrm{d}t \quad \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^3} \int_0 ^{x^2} \sin(\sqrt{t}) \mathrm{d}t$$
- Sea $f$ una función continua en $\mathbb{R}$, probar: $$\lim_{x\to 0} \frac{\int_{-x} ^x f(t) \mathrm{d}t}{\int_0 ^{2x} f(t+1) \mathrm{d}t} = \frac{f(0)}{f(1)}$$
- Sea $F(x) = \displaystyle \int_2 ^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^4}}$. Calcular $(F^{-1})'(0)$.
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