Desigualdades útiles

Para comenzar, trabajaremos las conocidas desigualdades triangulares:

Sean $a,b \in \mathbb{R}$, se cumple: $||a|-|b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$

Proof: La idea para demostrar el resultado es comenzar probando la segunda desigualdad. Ya que el valor absoluto transforma cualquier número en un positivo o nulo, podemos afirmar que $|a + b| \leq |a| + |b|$ es equivalente a elevar ambos lados al cuadrado: $$|a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2$$ A su vez: $|x|^2 = x^2, \forall x\in \mathbb{R}$; por lo que lo anterior se puede escribir como: $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 +2ab \leq a^2 + b^2 + 2|ab|$$ Cancelando términos, llegamos a: $$ab \leq |ab|$$ , lo cual es evidentemente cierto ($x\leq |x|, \forall x\in \mathbb{R}$; tomar $x=ab$). Habiendo probado el resultado con la suma adentro del valor absoluto, basta con tomar $-b'=b$ y $a'=a$ para comprobar que:

$$|a'-b'| = |a+b| \leq |a|+|b| = |a'| + |-b'| = |a'| + |b'|$$

Partiendo de la segunda desigualdad ya probada, tenemos: $$|a| = |a+b-b| \leq |a+b| + |b| \Longrightarrow |a|-|b| \leq |a+b|$$ $$|b| = |b+a-a| \leq |a+b|+|a| \Longrightarrow |b|-|a| = -(|a|-|b|) \leq |a+b|$$ La última desigualdad es equivalente a $|a|-|b| \geq -|a+b|$. Recopilando lo que hemos obtenido, tenemos: $$-|a+b| \leq |a|-|b| \leq |a+b| \underset{\mathrm{Def}}{\Longleftrightarrow} ||a|-|b|| \leq |a|+|b|$$ Para deducir la desigualdad con el signo menos en el miembro derecho, basta con trabajar con $|a-b|$ en lugar de $|a+b|$ como hemos hecho.

$\square$

En particular, las desigualdades triangulares son muy útiles a la hora de trabajar con cotas superiores e inferiores de expresiones que no conocemos a ciencia cierta. Veremos ejemplos de esto en muchas de las demostraciones $\varepsilon - (n_0, \delta)$ que trabajemos. Otras famosas desigualdades son las conocidas como desigualdades entre medias. La versión más básica y generalizada es la siguiente:

Sean $0<x\leq y$, entonces: $x \leq \frac{1}{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )} \leq \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} \leq y$

Proof: Vamos probando cada desigualdad ordenadamente. Empezamos queriendo ver: $x \leq \frac{1}{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )}$. En efecto, ya que $x\neq 0$, podemos escribir: $x = \frac{1}{\frac{1}{x}}$:

$$\frac{1}{\frac{1}{x}} \leq \frac{1}{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )} = \frac{1}{\frac{x+y}{2xy}} \Longleftrightarrow \frac{x+y}{2xy} \leq \frac{1}{x} \Longleftrightarrow \frac{x+y}{2y} \leq 1 \Longleftrightarrow x\leq y \: \checkmark$$

Vamos ahora a probar: $\frac{1}{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )} \leq \sqrt{xy}$. Utilizamos la misma estrategia:

$$\frac{1}{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )} \leq \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}} \Longleftrightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}} \leq \frac{x+y}{2xy} \Longleftrightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$$

Nos basta entonces con demostrar $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$ para justificar la desigualdad que teníamos por objetivo. Siendo $x,y>0$, podemos elevar al cuadrado ambos miembros. Eso haremos:

$$4xy \leq (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \Longleftrightarrow x^2 + y^2 -2xy = (x-y)^2 \geq 0 \: \checkmark$$

La última desigualdad es inmediata, pues basta con dar dos pasos para llegar a $x-y\leq 0$, lo cual es la propia hipótesis.

$\square$

Generalmente, se tiene la siguiente proposición:

$$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \dotsb + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdot (\dotsb) \cdot a_n} \leq \frac{a_1 + \dotsb + a_n}{n} \leq \frac{\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}}{n}$$

, para todos $a_1, ..., a_n >0$. Se mantiene la igualdad si, y sólo si, $a_i = a_j$, con: $ 1\leq i < j \leq n$.

Un ejemplo que involucra estos resultados:

Ejercicio: Sean $p,q\in \mathbb{Q}^+-\{ 0 \}$ tales que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Probar entonces que, para todos $x,y>0$, ocurre: $$\frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q} \geq xy$$

Ver solución

Otro ejercicio: Sean $u,v,w$ números reales positivos, probar: $$uv+uw \geq u\sqrt{vw}$$

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