Axioma del Supremo

En este artículo, conoceremos una caracterización que define y diferencia a $\mathbb{R}$ del conjunto de los números racionales. Antes que nada, empezaremos viendo la definición de conjunto acotado superior e inferiormente:

Sea $A\neq \varnothing$ un subconjunto de $\mathbb{R}$. Diremos que $A$ es acotado inferiormente si, y solo si; existe $m\in \mathbb{R}$ verificando $m\leq a, \forall a \in A$. Como era de esperar, diremos que $A$ es acotado superiomente si, y solo si; existe $M\in \mathbb{R}$ tal que: $a\leq M, \forall a\in A$.

De una forma más compacta, diremos que $A$ es acotado si, y solo si existe $K\geq 0$ tal que $|a|\leq K, \forall a\in A$. Teniendo en cuenta las definiciones previas, definimos al supremo y al ínfimo de un conjunto como procede:

Sea $A\neq \varnothing$ un subconjunto de $\mathbb{R}$ acotado superiormente. Definimos entonces al supremo de $A$ como la menor de las cotas superiores de dicho conjunto: $$\sup(A) = \min \{m : m \mathrm{\ es \ cota \ superior \ de \ } A \}$$

De igual forma, dado $A$ subconjunto de $\mathbb{R}$ acotado inferiormente, definimos al ínfimo de $A$ como la mayor de las cotas inferiores de $A$: $$\inf (A) = \max \{ M: M \mathrm{\ es \ cota \ inferior \ de \ } A \}$$

Bajo las hipótesis de existencia de supremo e ínfimo, si $\sup(A) \in A$, el supremo se considera máximo de $A$. De nuevo, si $\inf(A) \in A$, el ínfimo se considera mínimo. Una caracterización clásica de supremo e ínfimo es la siguiente:

(Caracterización de supremo e ínfimo) Sea $A$ subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ con supremo e ínfimo. Entonces:

$$S = \sup(A) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists a\in A: S-\varepsilon < a$$

$$I = \inf(A) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon ' >0, \exists a' \in A: I+\varepsilon ' > a'$$

Ya tenemos todas las herramientas para introducir el conocido como Axioma del Supremo:

Axioma del Supremo: Todo subconjunto de $\mathbb{R}$ no vacío acotado superiormente, tiene supremo.

Este axioma es una fantasía pura y dura. Una consecuencia directa del mismo es la siguiente proposición:

Todo subconjunto de $\mathbb{R}$ no vacío y acotado inferiormente, tiene ínfimo.

Proof: Supongamos $A\subseteq \mathbb{R}$ no vacío, tal que $\exists m: m\leq a, \forall a \in A$ (definición). Denotando: $-A = \{-a: a \in A \}$, se puede manipular la desigualdad de la definición de cota inferior para encontrar que $-a \leq -m$. En otras palabras, $-A$ es acotado superiormente. Por el axioma del supremo, ya que $-A$ es subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente: $\exists S = \sup(-A)$. Por caracterización del supremo: $$\forall \varepsilon>0, \exists -a \in (-A): S-\varepsilon < -a$$ Se puede manipular la desigualdad de nuevo para ver que lo anterior es equivalente a: $$\forall \varepsilon>0 , \exists a \in A:  a<(-S) + \varepsilon \Longleftrightarrow \boxed{-S = \inf (A)}$$ Concluimos entonces que $\sup(A) = -\inf(-A)$.

$\square$

Sin embargo, como dije al principio del post: este axioma nos permite definir $\mathbb{R}-\mathbb{Q} \neq \varnothing$. Empecemos trabajando la mítica proposición siguiente:

No existe un número racional tal que su cuadrado sea $2$.

Proof: Supongamos por reducción al absurdo que dicho número es racional. En concreto, teniendo en cuenta que: $$\mathbb{Q} = \left \{ \frac{p}{q}: (p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N} \wedge \gcd(p,q)=1 \right \}$$ , deberán existir $p\in \mathbb{Z}$ y $q\in \mathbb{N}$ coprimos, tales que $\frac{p^2}{q^2} = 2$. Esto es: $p^2 = 2\cdot q^2$. Se comprueba rápidamente (ver final del post) que todo número entero tal que su cuadrado es par, debe ser par. Esto es: $\exists m \in \mathbb{Z}: p = 2\cdot m$. Reemplazando en la relación que teníamos: $$(2m)^2 = 2\cdot q^2 \Longleftrightarrow q^2 = 2 \cdot m^2$$ Obtenemos entonces que $q^2$ es también par y por lo tanto $q$. Hemos llegado a un absurdo, pues habíamos supuesto que $p$ y $q$ eran coprimos entre sí, de manera que no podían guardar otro divisor común que no fuese el $1$.

$\square$

Considerando el conjunto $A = \{ x\in \mathbb{R}: x^2 < 2 \}$, se deduce rápidamente que $A$ es subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente. Por lo tanto, en bondad del Axioma del Supremo: $\exists S = \sup(A)$. Denotando $\sqrt{2}$ como el número tal que al elevarlo al cuadrado obtenemos $2$, se puede comprobar que $\sup (A) = \sqrt{2}$ (ejercicio al final del post). Por lo tanto, hemos encontrado un elemento en $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, al cual bautizaremos con el nombre de conjunto de números irracionales.

Ejercicios:

1. Sea $a\in \mathbb{Z}$ tal que $a^2 = \dot{2}$ (múltiplo de dos). Probar que necesariamente $a= \dot{2}$. Ver solución.
2. Considérese $A = \{x\in \mathbb{R}: x^2 <2 \}$. Justificar la existencia del supremo de $A$ y probar que $\sup(A) = \sqrt{2}$. Ver solución.
3. Considérese el conjunto: $$B = \left \{ x\in \mathbb{R}:|x-2||x-5| \leq 3+x \right \}$$ Estúdiese si se trata de un conjunto acotado. Determinar, en caso de existencia: supremo, ínfimo, máximo y mínimo. Ver solución.

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