Polinomio de Taylor de funciones reales de una variable real.

Una de los ámbitos más trabajados, incluso en la actualidad; es la aproximación de funciones de una o más variables a partir de otras que sepamos manejar con un mejor dominio. En nuestro caso, los famosos polinomios de Taylor entran en escena. Comenzamos dando una definición:

(Definición, polinomio de Taylor) Dada una función $f:I\to \mathbb{R}$ que resulte $n$ veces derivable en un $x_0 \in I$, definimos al polinomio de Taylor de $f$ de grado $n$ centrado en $x_0$ al polinomio:

$$P_n(f,x_0)(x)=f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \dotsb + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

Cuando $x_0=0$ (polinomio centrado en el origen), el polinomio generado se acostumbra a denominar polinomio de McLaurin. La construcción del polinomio se remonta a encontrar un polinomio cuyas derivadas hasta el orden $n$ coincidan con las de $f$ en el $x_0$ estudiado. Mediante una prueba constructiva, se puede demostrar el siguiente resultado:

Sea $f: I \to \mathbb{R}$ y $x_0 \in I$ tal que $f$ es $n$ veces derivable en $x_0$, entonces el polinomio $P_n(f,x_0,x)$ es el único tal que: $$P_n^{(k)}(f,x_0)(x_0) = f^{(k)}(x_0)\quad , \forall k \in \{0,1,..., n \}$$

Ocurre que una amplia gama de funciones se pueden aproximar relativamente bien mediante sus respectivos polinomios de Taylor. Un claro ejemplo de ello son las funciones trigonométricas básicas, la función exponencial, etc.

Función seno comparada con algunos de sus polinomios de Taylor

La función exponencial comparada con $P_1(\exp , 0), P_5(\exp, 0)$

De hecho, se puede probar que $f(x)-P_n(f,x_0)(x) = o((x-x_0)^n)$, para $n\to +\infty$. En particular, a la hora de realizar aproximaciones a diestro y siniestro con un polinomio de Taylor asociado a $f$, viene bien manejar una cota de error cometida según lo que uno necesite. Dicha cota de error la proporciona el Teorema de Taylor:

(Teorema de Taylor, forma de Lagrange) Sea $f\in C^n(I)$ una función $n+1$ veces derivable en $I$. Siendo $x_0 \in I$ y $x\in I: x<x_0$, existe un $\xi \in (x,x_0)$ tal que:

$$f(x) = P_n(f,x_0)(x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

De igual forma, si $x\in I: x>x_0$, el $\xi$ se sitúa en el intervalo $(x_0,x)$, y verifica la misma igualdad.

Proof: Denotamos $\varphi(x_0) = P_n(f,x_0)(x)$. Supongamos sin pérdida de generalidad $x_0<x$. Por hipótesis: $\varphi \in \mathcal{C}(I) \cap \mathcal{D}(I)$, verificando:

$$\begin{eqnarray} \varphi'(x_0) &=& f'(x_0) + \sum_{j=1}^n \frac{f^{(j+1)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}k(x-x_0)^{k-1} = \\ &=& f'(x_0) + \sum_{j=1}^n \frac{f^{(j+1)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} = \\ & = & \sum_{j=1}^n \frac{f^{(j+1)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j -\sum_{k=2}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} = \\ &=& \sum_{j=2}^{n+1} \frac{f^{(j)}(x_0)}{(j-1)!}(x-x_0)^{j-1} - \sum_{k=2}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} = \\ & = & \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{eqnarray}$$

Consideremos ahora la función auxiliar $g(x_0)=(x-x_0)^{n+1}$, de forma que $g'(x_0) = -(n+1)(x-x_0)^n$. Ya que $f,g\in \mathcal{C}([x_0,x])\cap \mathcal{D}((x_0,x))$, y $g'(x)\neq 0, \forall x\in (x_0,x)$; aplicamos el Teorema del Valor Medio Generalizado:

$$\exists \xi \in (x_0,x): \frac{\varphi'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{g(x)-g(x_0)}$$

El primer miembro se reduce a $-\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$. Mientras que en el segundo, tenemos:

$$\frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{g(x)-g(x_0)} = \frac{f(x)-P_n(f,x_0)(x)}{-(x-x_0)^{n+1}} = \frac{P_n(f,x_0)(x) - f(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$$

Reemplazando en la igualdad que teníamos:

$$\frac{P_n(f,x_0)(x) - f(x)}{(x-x_0)^{n+1}} = -\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \Longrightarrow f(x) = P_n(f,x_0)(x) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

En el caso de $x_0>x$, el procedimiento de la prueba es el mismo, obteniendo un $\xi \in (x,x_0)$ verificando la misma propiedad.

$\square$

A partir del teorema anterior, se define al Resto de Lagrange (de grado $n$, centrado en $x_0$) como: $$R_n(f,x_0)(x) = f(x) -P_n(f,x_0)(x)$$

, de forma que bajo las hipótesis del Teorema de Taylor $(x_0<x)$:

$$\exists \xi \in (x_0, x): R_n(f,x_0)(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

Bajo esta expresión del resto, podemos establecer una cota del mismo:

$$|R_n(f,x_0)(x)| \leq \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \max_{x\in I} |f'(x)|$$

Esta forma del resto es la más utilizada, dada la comodidad y versatilidad que presenta. Se conocen también otras formas del resto, como puede ser la de Cauchy o la integral. Sin embargo, con un manejo adecuado de la forma de Lagrange del resto, lograremos enfrentar gran parte de los problemas que se nos presentan.

Ejercicios:

1. Calcular el polinomio de McLaurin de cualquier grado, de la función $f(x)=\ln(1+x)$. Utilizarlo para aproximar $\ln 1.2$ con un error menor que $0.01$.

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