Función Lipschitz

Comenzamos trabajando el concepto de función Lipschitz:

(Definición, función Lipschitz) Sea $f:I\to \mathbb{R}$, decimos que $f$ es función Lipschitz en $I'\subseteq I$, y lo denotamos por $f\in \mathrm{Lip}_C(I')$, si y solo si:

$$\exists C\geq 0: \ |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|$$

, $\forall x,y\in I'$.

Se comprueba fácilmente que toda función Lipschitz en un intervalo $I'$ es uniformemente continua, y por lo tanto continua en el mismo. El recíproco es falsísimo, pues la función $f(x) = x^2$ es continua en todo $\mathbb{R}$ pero no Lipschitz. A la hora de trabajar con este tipo de funciones, el concepto de derivabilidad entra bastante en juego, pues conociendo como se comporta la función derivada podemos hacer virguerías. Hablo del siguiente resultado:

Dada una función $f\in \mathcal{D}(I)$ tal que $\exists M>0$ verificando $|f'(x)|\leq M, \forall x\in I$; entonces $f\in \mathrm{Lip}_M(I)$.

Proof: Basta con aplicar el Teorema del Valor Medio sobre arbitrarios en $I$. En concreto, sean $x,y\in I$ tales que $x<y$. Ya que $f\in \mathcal{C}([x,y]) \cap \mathcal{D}((a,b))$, conseguimos:

$$\exists c\in (x,y): f'(c) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$

Tomando valor absoluto a ambos lados, podemos aplicar la cota $M$ que tenemos por hipótesis y llegar a la definición de función Lipschitz:

$$|f'(c)| = \left |\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right | \leq M \Longleftrightarrow |f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$$

La arbitrariedad de $x,y\in I$ completa la prueba.

$\square$

En base al resultado previo, cualquier función $f\in C^1 ([a,b])$ deberá ser función Lipschitz, pues presenta la derivabilidad requerida y, en base a la continuidad en un cerrado de $f'$: esta última deberá ser acotada (Teorema de Weierstrass). No obstante, recordar que la derivabilidad nunca es condición necesaria para que una función sea Lipschitz. Un perfecto ejemplo de ello es: $$f(x) = |x| \in \mathcal{D}(\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}) \cap \mathrm{Lip}_1 (\mathbb{R})$$

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