Propiedad arquimediana

Antes de trabajar con esta propiedad, demostremos el siguiente teorema:

N no está acotado superiormente

Proof: Supongamos que N está acotado superiormente. Por el axioma del supremo, podemos suponer la existencia de sup. Veamos que ocurre si nos movemos una unidad previa al supremo:

  • Si N-1 es también supremo de \mathbb{N}, llegamos a una contradicción inmediata dado que entonces N sería cota superior y no supremo.
  • Si N-1 no es supremo de \mathbb{N}, existirá al menos un n\in \mathbb{N} tal que: n > N-1 \Rightarrow n+1 > N Lo anterior es otra contradicción, dado que n+1 es un natural que supera al supremo, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, \mathbb{N} no está acotado superiormente.

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(Propiedad arquimediana) Sean a,b \in \mathbb{R}, con a>0. Entonces \exists n\in \mathbb{N}: na>b.

Proof: (RRAA) Partiremos de la negación de la propiedad. Entonces: \forall n\in \mathbb{N}, \  na \leq b Como a es un positivo distinto de cero, podemos dividir ambos miembros de la desigualdad por a si que esto suponga ningún cambio: \forall n \in \mathbb{N}, \ n \leq \frac{b}{a} Lo anterior es imposible, dado que de ser cierto; \frac{b}{a} sería un supremo de los naturales, lo cual vimos en el teorema anterior que no es posible.

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Otra demostración más rigurosa y directa de la propiedad arquimediana es la siguiente: Procedemos de nuevo por reducción al absurdo, es decir: suponemos \forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow na\leq b. Considérese el conjunto A=\{na: n\in \mathbb{N} \} \neq \varnothing. Por ser subconjunto no vacío de \mathbb{R} acotado superiormente por b, existe S=\sup(A). Por caracterización del supremo:

\forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in A: S-\varepsilon < n_0

En concreto, tomando \varepsilon = a>0, encontramos un n_0\in A verificando: S-a < n_0 \Rightarrow S< n_0 +a. Ya que n_0\in A\Rightarrow \exists k\in \mathbb{N}: n_0 = ka. En resumidas cuentas, conseguimos llegar a S<ka+a=a(k+1)\in A. Esto es absurdo, pues hemos encontrado un elemento en A más grande que el supremo.

Como aplicación, podemos demostrar el siguiente corolario:

\forall \varepsilon> 0, \exists m_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}: \displaystyle \frac{1}{2^{m_0}} < \varepsilon

Proof: El problema aquí es que m_0 está en un exponente. Para quitarlo de ahí, recurrimos al logaritmo, y dado que se trata de una función creciente en todo \mathbb{R}^+:

\ln \left ( \frac{1}{2} \right )^{m_0} < \ln \varepsilon \Leftrightarrow m_0 \cdot \ln \left ( \frac{1}{2} \right ) < \ln \varepsilon \Leftrightarrow -m_0 \ln(2) < \ln \varepsilon

Multiplicamos por menos uno a ambos lados de la igualdad, cambiando así el sentido de la misma:

m_0 \ln (2) > - \ln \varepsilon

Teniendo en cuenta que \ln(2)>0, la propiedad arquimediana asegura la existencia del natural m_0. En concreto, podemos tomar: m_0(\varepsilon) = E[-\ln \varepsilon / \ln 2] +1, \forall \varepsilon > 0.

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