Cálculo de potencias y raíces

La forma polar resulta la más recomendable para realizar operaciones laboriosas con números complejos. En concreto, teniendo en cuenta la variación del módulo y argumento introducida por el producto entre dos complejos dados, al elevar un complejo $z=r_{\theta}$ (forma polar) a una potencia $n\in \mathbb{Z}$ determinada obtenemos: $z^n = r^n_{n\cdot \theta}$. Por lo que recurriremos a esta regla cuando se requiera una potencia natural de magnitud grande.

A la hora de hablar de raíces de un número complejo, es importante destacar la ausencia de unicidad de las mismas. Enseguida veremos que existe más de una raíz $n$-ésima para cualquier complejo no nulo dado. Sea $z\in \mathbb{C} \setminus \{0 \}$, queremos calcular $z^{1/n}$, con $n\in \mathbb{N}$ (si se trata de un número negativo, bastará con aplicar el inverso). Si $w_i$ es raíz enésima de $z$, verifica entonces: $w_i^n =z$. En concreto, siendo $\theta_i = \mathrm{Arg}(w_i)$ y $\theta = \mathrm{Arg}(z)$, se tiene:

$$(|w_i|\cdot e^{i\cdot \theta_i})^n = z = |z|\cdot e^{i\theta}$$

En otras palabras: $|w_i|^n e^{i(n \theta_i)} = |z|\cdot e^{i\theta}$. Recuérdese que establecemos la igualdad entre dos complejos dados únicamente cuando tienen igual módulo y la diferencia entre sus argumentos principales es múltiplo entero de $2\pi$. En nuestro caso:

$$\begin{cases} |w_i|^n = |z| \Longrightarrow \boxed{|w_i| = \sqrt[n]{|z|}} \\ (k\in \mathbb{Z}) \ n\theta_i - \theta = k\cdot 2\pi \Longrightarrow \boxed{\theta_i = \frac{\theta + k(2\pi)}{n}} \end{cases}$$

Empezemos notando que $k=0$ siempre genera una raíz en cualquiera de las situaciones, pues genera un argumento $\frac{\theta}{n}$ en la propia raíz, que al elevarla a la potencia $n$ recuperará el argumento inicial $\theta$. Si colocamos $k=n$, obtenemos un argumento de $\frac{\theta}{n} + 2\pi$, lo cual no hace sentido trabajarlo pues dar una vuelta completa a un complejo no resuelve ni cambia nada. En resumidas cuentas, si ponemos $k=n$, hacemos el mismo trabajo que poniendo $k=0$. No es difícil ver que si sustituimos $k=n+1$, hacemos lo mismo que colocando $k=1$... Nos debemos decantar entonces por los primeros $n-1$ múltiplos de $2\pi$. Resumiendo toda la retahila, calculamos la $k$-ésima raíz n-ésima de un complejo $z\in \mathbb{C} \setminus \{0 \}$ como:

$$w_{k+1} = \sqrt[n]{|z|}_{\frac{\mathrm{Arg}(z) + k(2\pi)}{n}}$$

, con $k\in \{0,..., n-1 \}$. Basándonos en este resultado, podemos deducir que las raíces $n$-ésimas de un complejo no nulo forman un polígono regular de $n$ lados centrado en $0$, con vértices en $w_1, ..., w_{n}$.

Ejercicios:

1. Calcular $w=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i \right )^9$. Ver solución.
2. Calcular las raíces cuartas del complejo $z=-8+8i$. Ver solución.
3. Sea $n\in \mathbb{N}$, encontrar todos los complejos $z$ que verifiquen: $z^n = -\overline{z}$.
4. Encontrar todos los complejos que satisfagan la ecuación $\overline{z}+ 1 = iz^2 + |z|^2$.

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