Desigualdades triangulares

Al igual que en variable real, se cumplen las desigualdades triangulares en $\mathbb{C}$. En concreto:

Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, se verifica entonces: $|z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

Proof: La forma de demostrarlo en la variable compleja difiere bastante de la inicial para números reales. Se comienza de la misma forma, es decir: $$|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2| \Longleftrightarrow |z_1+z_2|^2 \leq (|z_1|+|z_2|)^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1z_2| \color{brown} \Longleftrightarrow$$ Aplicamos la propiedad $|z|^2 = z \cdot \overline{z}, \forall z \in \mathbb{C}$: $$\color{brown} \Longleftrightarrow (z_1+z_2) \underset{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{\underbrace{(\overline{z_1+z_2})}} = \underset{|z_1|^2}{\underbrace{z_1\cdot \overline{z_2}}} + z_1\cdot \overline{z_2} + z_2\cdot \overline{z_1} + \underset{|z_2|^2}{\underbrace{z_2 \cdot \overline{z_2}}} \leq |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1z_2|$$

Cancelando términos, llegamos a la desigualdad: $$z_1\cdot \overline{z_2} + \underset{\overline{z_1\cdot \overline{z_2}}}{\underbrace{z_2 \cdot \overline{z_1}}} \leq 2|z_1z_2| \underset{z + \overline{z} = 2\mathrm{Re}(z) \ , \forall z \in \mathbb{C}}{\Longleftrightarrow} 2\mathrm{Re}(\overline{z_1\cdot \overline{z_2}}) \leq 2|\overline{z_1\cdot \overline{z_2}}|$$

Teniendo en cuenta la desigualdad básica: $\max \{ \mathrm{Re}(z), \mathrm{Im}(z) \} \leq |z|, \forall z\in \mathbb{C}$; llegamos a una propiedad cierta y concluimos entonces la prueba.

$\square$

Con razonamientos análogos respecto al primer post de contenido de la asignatura (Desigualdades útiles), se deduce la siguiente proposición:

Sean $z,w$ dos números complejos cualesquiera, se verifica:

$$||z|-|w|| \leq |z\pm w| \leq |z| + |w|$$

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