Desigualdades triangulares
Al igual que en variable real, se cumplen las desigualdades triangulares en C. En concreto:
Proof: La forma de demostrarlo en la variable compleja difiere bastante de la inicial para números reales. Se comienza de la misma forma, es decir: |z1+z2|≤|z1|+|z2|⟺|z1+z2|2≤(|z1|+|z2|)2=|z1|2+|z2|2+2|z1z2|⟺ Aplicamos la propiedad |z|2=z⋅¯z,∀z∈C: ⟺(z1+z2)(¯z1+z2)⏟¯z1+¯z2=z1⋅¯z2⏟|z1|2+z1⋅¯z2+z2⋅¯z1+z2⋅¯z2⏟|z2|2≤|z1|2+|z2|2+2|z1z2|
Cancelando términos, llegamos a la desigualdad: z1⋅¯z2+z2⋅¯z1⏟¯z1⋅¯z2≤2|z1z2|⟺z+¯z=2Re(z) ,∀z∈C2Re(¯z1⋅¯z2)≤2|¯z1⋅¯z2|
Teniendo en cuenta la desigualdad básica: max; llegamos a una propiedad cierta y concluimos entonces la prueba.
\square
Con razonamientos análogos respecto al primer post de contenido de la asignatura (Desigualdades útiles), se deduce la siguiente proposición:
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