Desigualdades triangulares

Al igual que en variable real, se cumplen las desigualdades triangulares en C. En concreto:

Sean z1,z2C, se verifica entonces: |z1+z2||z1|+|z2|.

Proof: La forma de demostrarlo en la variable compleja difiere bastante de la inicial para números reales. Se comienza de la misma forma, es decir: |z1+z2||z1|+|z2||z1+z2|2(|z1|+|z2|)2=|z1|2+|z2|2+2|z1z2| Aplicamos la propiedad |z|2=z¯z,zC: (z1+z2)(¯z1+z2)¯z1+¯z2=z1¯z2|z1|2+z1¯z2+z2¯z1+z2¯z2|z2|2|z1|2+|z2|2+2|z1z2|

Cancelando términos, llegamos a la desigualdad: z1¯z2+z2¯z1¯z1¯z22|z1z2|z+¯z=2Re(z) ,zC2Re(¯z1¯z2)2|¯z1¯z2|

Teniendo en cuenta la desigualdad básica: max; llegamos a una propiedad cierta y concluimos entonces la prueba.

\square

Con razonamientos análogos respecto al primer post de contenido de la asignatura (Desigualdades útiles), se deduce la siguiente proposición:

Sean z,w dos números complejos cualesquiera, se verifica:
||z|-|w|| \leq |z\pm w| \leq |z| + |w|


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