Formas de expresar un número complejo

La primera forma que se nos debe venir a la cabeza cuando hablamos de un número complejo, es la forma de par ordenado; pues a partir de ella nacen y se introducen este tipo de números.

(Forma de par ordenado) Un complejo viene representado por un par ordenado de números reales: $z=(a,b), a,b\in \mathbb{R}$.

Una vez aquí, lo que se suele definir es la parte real del complejo $z$ como la primera ordenada, y su parte imaginaria como la segunda. En concreto, para un complejo $z=(a,b)$ tenemos $\mathrm{Re}(z) = a, \mathrm{Im}(z)=b$. A partir de aquí, se definen las operaciones de suma y producto de complejos como:

(Suma de complejos) La suma de complejos viene definida como:  $$\begin{matrix} &+: & \mathbb{C} \times \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} &  \\ &   & (z,w) & \rightsquigarrow & +(z,w) &:=z+w \end{matrix}$$

, con $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), \forall (a,b),(c,d)\in \mathbb{C}$.

(Producto de complejos) El producto de complejos viene definido como:  $$\begin{matrix} &\cdot: & \mathbb{C} \times \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} &  \\ &   & (z,w) & \rightsquigarrow & \cdot(z,w) &:=z\cdot w \end{matrix}$$

, con $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc), \forall (a,b),(c,d)\in \mathbb{C}$.

Con estas operaciones en mente, aparece la mítica unidad imaginaria $i$ verificando $i^2 =-1$ (usualmente se toma $i=\sqrt{-1}$). Razones suficientes conllevan a considerar la forma binómica de un complejo:

(Forma binómica) Dado un complejo $z$ con $\mathrm{Re}(z) = a, \mathrm{Im}(z)=b$, se escribe a $z$ en forma binómica como: $z=a+b\cdot i$.

Para definir las tres formas restantes, es necesario conocer el concepto de módulo y argumento principal de un número complejo:

Dado un complejo $z=(a,b)$, definimos el módulo de $z$ como la distancia euclídea en $\mathbb{R}^2$ del punto $(a,b)$ al origen. Es decir: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Definimos al argumento de un número complejo, como el ángulo que forma el vector $(a,b)$ con el eje de abscisas. Ya que son infinitas posibilidades, teniendo un $\theta$ como ángulo formado, denotamos al argumento general como:

$$\arg(z) = \{ \theta + 2k\pi \quad , k \in \mathbb{Z} \}$$

Trabajaremos usualmente con el argumento principal $(\mathrm{Arg}(z))$, que es aquel ángulo del anterior conjunto comprendido en el intervalo $(-\pi, \pi]$.

La forma más eficaz y rápida de obtener el argumento principal de un complejo cualquiera es recurrir a la expresión:

$$\mathrm{Arg}(z=a+bi) = \begin{cases} \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) & , a>0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) - \pi & , a,b<0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) + \pi & , a<0, b\geq 0 \\ \mathrm{sgn}(b)\cdot \frac{\pi}{2} & , a=0 \end{cases}$$

Dejamos su demostración como ejercicio al final del post. A partir de conceptos de trigonometría básicos, conocidas las partes real e imaginaria de un complejo $z$ dado, uno se percata de:

$$\mathrm{Re}(z) = |z| \cdot \cos(\mathrm{Arg}(z)) \qquad \mathrm{Im}(z) = |z| \cdot \sin(\mathrm{Arg}(z))$$

(Forma trigonométrica y forma polar) Conocidos el módulo de un complejo $z$, pongámosle $r$; y su argumento principal, pensemos $\theta$; $z$ se expresa en forma trigonométrica como $z= r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$. Una forma más compacta de trabajar con un número complejo conocidos estos datos se conoce como forma polar. En nuestro contexto, la forma polar de $z$ sería $r_{\theta}$.

Entramos ahora en terreno pantanoso.

(Definición, exponencial) Definimos $e^{a+bi} = e^a \cdot (\cos(b) + i \sin(b))$.

Existen diferentes razones por las cuales considerar esta definición. Si tratamos a $i$ como una constante, se prueba fácilmente que $e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta), \forall \theta \in \mathbb{R}$, derivando en la expresión que hemos definido. Se cumplen algunas propiedades básicas como en $\mathbb{R}$, como puede ser: $e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}$. PERO surgen nuevas peculiaridades. Por ejemplo, se rompe la inyectividad que la función exponencial real tenía, pues $e^{\theta i} = e^{(\theta + 2k\pi) i}, \forall k \in \mathbb{Z}$. Esto es un tema en el que entraremos muy a saco en variable compleja jeje. 

Como era de esperar...

(Forma exponencial) Dado un complejo $z$, de módulo $r>0$ y argumento principal $\theta$, su forma exponencial vendrá dada como $z=re^{i \theta}$.

Para terminar, la interpretación geométrica de la suma de dos complejos es exactamente la misma que para la suma de dos vectores: simplemente el complejo suma tomará por parte real e imaginaria la correspondiente al aplicar la famosa regla del paralelogramo. Sin embargo, para encontrar una interpretación geométrica del producto de dos complejos dados, es necesario conocer de primera mano la forma exponencial (y/o trigonométrica, como se prefiera). En concreto, fijado un complejo $z$ y dado un $w\in \mathbb{C}$, el producto $z\cdot w$ da por resultado otro complejo obtenido tras realizar el producto de módulos y rotar el complejo $z$ $\mathrm{Arg}(w)$ unidades de ángulo.

Ejercicios:

1. Dado el complejo $z=1+\sqrt{3}i$, encontrar su forma trigonométrica, polar y exponencial. Ver solución.
2. Dado un complejo $z=a+bi$, comprobar que su argumento principal viene dado por la expresión:  $$\mathrm{Arg}(z=a+bi) = \begin{cases} \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) & , a>0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) - \pi & , a,b<0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) + \pi & , a<0, b\geq 0 \\ \mathrm{sgn}(b)\cdot \frac{\pi}{2} & , a=0 \end{cases}$$  Ver solución.

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