Formas de expresar un número complejo
La primera forma que se nos debe venir a la cabeza cuando hablamos de un número complejo, es la forma de par ordenado; pues a partir de ella nacen y se introducen este tipo de números.
Una vez aquí, lo que se suele definir es la parte real del complejo z como la primera ordenada, y su parte imaginaria como la segunda. En concreto, para un complejo z=(a,b) tenemos Re(z)=a,Im(z)=b. A partir de aquí, se definen las operaciones de suma y producto de complejos como:
Con estas operaciones en mente, aparece la mítica unidad imaginaria i verificando i^2 =-1 (usualmente se toma i=\sqrt{-1}). Razones suficientes conllevan a considerar la forma binómica de un complejo:
Para definir las tres formas restantes, es necesario conocer el concepto de módulo y argumento principal de un número complejo:
La forma más eficaz y rápida de obtener el argumento principal de un complejo cualquiera es recurrir a la expresión:
\mathrm{Arg}(z=a+bi) = \begin{cases} \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) & , a>0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) - \pi & , a,b<0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) + \pi & , a<0, b\geq 0 \\ \mathrm{sgn}(b)\cdot \frac{\pi}{2} & , a=0 \end{cases}
Dejamos su demostración como ejercicio al final del post. A partir de conceptos de trigonometría básicos, conocidas las partes real e imaginaria de un complejo z dado, uno se percata de:
\mathrm{Re}(z) = |z| \cdot \cos(\mathrm{Arg}(z)) \qquad \mathrm{Im}(z) = |z| \cdot \sin(\mathrm{Arg}(z))
Entramos ahora en terreno pantanoso.
Existen diferentes razones por las cuales considerar esta definición. Si tratamos a i como una constante, se prueba fácilmente que e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta), \forall \theta \in \mathbb{R}, derivando en la expresión que hemos definido. Se cumplen algunas propiedades básicas como en \mathbb{R}, como puede ser: e^{a+bi} = e^a \cdot e^{bi}. PERO surgen nuevas peculiaridades. Por ejemplo, se rompe la inyectividad que la función exponencial real tenía, pues e^{\theta i} = e^{(\theta + 2k\pi) i}, \forall k \in \mathbb{Z}. Esto es un tema en el que entraremos muy a saco en variable compleja jeje.
Como era de esperar...
Para terminar, la interpretación geométrica de la suma de dos complejos es exactamente la misma que para la suma de dos vectores: simplemente el complejo suma tomará por parte real e imaginaria la correspondiente al aplicar la famosa regla del paralelogramo. Sin embargo, para encontrar una interpretación geométrica del producto de dos complejos dados, es necesario conocer de primera mano la forma exponencial (y/o trigonométrica, como se prefiera). En concreto, fijado un complejo z y dado un w\in \mathbb{C}, el producto z\cdot w da por resultado otro complejo obtenido tras realizar el producto de módulos y rotar el complejo z \mathrm{Arg}(w) unidades de ángulo.
Ejercicios:
- Dado el complejo z=1+\sqrt{3}i, encontrar su forma trigonométrica, polar y exponencial. Ver solución.
- Dado un complejo z=a+bi, comprobar que su argumento principal viene dado por la expresión: \mathrm{Arg}(z=a+bi) = \begin{cases} \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) & , a>0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) - \pi & , a,b<0 \\ \arctan \left ( \frac{b}{a} \right ) + \pi & , a<0, b\geq 0 \\ \mathrm{sgn}(b)\cdot \frac{\pi}{2} & , a=0 \end{cases} Ver solución.
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