Continuidad uniforme. Teorema de Heine

El concepto de continuidad uniforme en una función resulta relevante para tener una idea de cómo se comporta esta "globalmente" sobre un dominio. En este post llegaremos a entender que si los valores de una función (incluso continua) se disparatan en algún dominio, esta no es uniformemente continua en el mismo (mucho bisturí hay que meter XD). Comenzemos con la definición:

(Definición, continuidad uniforme) Sea $f:I\to \mathbb{R}$ y $x_0 \in I'$. Diremos que $f$ es uniformemente continua en $x_0$, y lo denotamos como $f\in \mathcal{UC}(\{x_0 \})$; si, y solo si:

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$$

De igual forma, diremos que $f\in \mathcal{UC}(D)$, siendo $D\subseteq \mathrm{Dom}(f)$ subconjunto no vacío; si, y solo si: se cumple la condición de continuidad uniforme para todos $x,y\in D$.

Se prueba fácilmente que toda función uniformemente continua en un dominio dado, es continua en el mismo. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: La función $f(x) = ax+b, a,b\in \mathbb{R}$; es uniformemente continua en todo $\mathbb{R}$. Para comprobarlo, recurrimos a la definición:

$$|f(x)-f(y)|=|a||x-y|<|a|\delta$$

Fijado un $\varepsilon >0$, basta con tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{|a|} >0$ para verificar: $$\forall x,y \in \mathbb{R}: |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \equiv f\in \mathcal{UC}(\mathbb{R})$$

$\square$

Ejemplo: La función $g(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}^+ = (0,+\infty)$. Lo probamos de nuevo haciendo uso de la definición:

$$| g(x) - g(y) | = | \sqrt{x} - \sqrt{y} | = \sqrt{ | \sqrt{x} - \sqrt{y}|^2} \leq \sqrt{ | \sqrt{x} - \sqrt{y}| | \sqrt{x} + \sqrt{y} |} = \sqrt{ | x - y | }$$

Dado $\varepsilon >0$, basta con tomar $\delta = \varepsilon^2$ para verificar la definición como se pretende.

$\square$

Ejemplo: La función $h(x) = x^2$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}^+$. Se ve rápidamente pues si asumimos la continuidad uniforme, necesariamente la expresión:

$$|h(x)-h(y)| = |x^2 -y^2| = |x-y|(x+y) < \delta (x+y)$$

, debería estar acotada para todos $x,y >0$, lo cual es evidentemente falso.

$\square$

Uno de los teoremas más relevantes que hace referencia a este concepto el conocido Teorema de Heine:

(Th. Heine) Toda función continua en un intervalo cerrado, es uniformemente continua en el mismo.

Proof: Supongamos por RRAA una función $f\in \mathcal{C}([a,b])$ tal que $f\notin \mathcal{UC}([a,b])$. Esto último se traduce en:

$$\exists \varepsilon >0:  \forall \delta>0 \Longrightarrow \left ( |x-y|< \delta \ \wedge \ |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon \right ) \quad, \forall x,y\in [a,b]$$

Tómese en consideración $\delta = \delta(n) = \frac{1}{n}$ y $x:= \{x_n \}, y:= \{y_n \}$ sucesiones en $[a,b]$. Por tratarse de sucesiones de números reales acotadas, encontramos $\{x_{n_k} \}, \{ y_{n_k} \}$ subsucesiones de $\{x_n \}, \{y_n \}$ convergentes. Reemplazamos todas las configuraciones en la hipótesis de negación:

$$\exists \varepsilon>0: \forall n_k \in \mathbb{N} \Longrightarrow \left ( |x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}  \ \wedge \ |f(x_{n_k})-f(y_{n_k})| \geq \varepsilon \right )$$

Ya que $\lim 1/n_k = 0$, necesariamente ambas subsucesiones convergen a un mismo límite: $\lim x_{n_k} = \lim y_{n_k}$. Gracias a la continuidad por límite de $f$, en base al razonamiento previo: $\lim f(x_{n_k}) = \lim f(y_{n_k})$, lo cual hace imposible el hecho de encontrar un $\varepsilon>0$ fijo tal que $|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geq \varepsilon$, pues $\lim |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| =0$.

$\square$

Ejercicios:

1. Sea $f$ una función continua en $[0,+\infty)$. Considérese la existencia de $a,b\in \mathbb{R}$ tales que: $$\lim_{x\to +\infty} f(x)-(ax+b)=0$$ Probar que $f \in \mathcal{UC}([0,+\infty))$. Ver solución.
2. Demostrar que la función $f(x) = \frac{1}{x}$ es tal que $f\notin \mathcal{UC}((0,R]), \forall R>0$. Ver solución.

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