Teoremas de continuidad

Recordamos la definición de función continua en un punto:

(Definición, continuidad) Sea $f:I\to \mathbb{R}$ y $x_0 \in I'$. Decimos que $f$ es continua en $x_0$, y lo denotamos por $f\in \mathcal{C}(\{x_0 \})$ si, y solo si: $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$. En términos de $\varepsilon-\delta$: $$f \in \mathcal{C} (\{x_0 \}) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists \delta = \delta (\varepsilon)>0 : |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

A la hora de hablar de la continuidad de funciones en determinados casos, surgen los siguientes resultados:

(Álgebra de funciones continuas) Dadas $f,g$ funciones continuas en un $x_0$, entonces $f\pm g, f\cdot g, \lambda f \in \mathcal{C}(\{x_0 \})$, para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$. Además, si $g(x_0)\neq 0 \Longrightarrow \frac{f}{g}\in \mathcal{C} (\{x_0 \})$

(Continuidad de la función compuesta) Sea $f$ función continua en un $x_0$ y $g\in \mathcal{C}(\{f(x_0) \})$, ocurre entonces que $g\circ f \in \mathcal{C}(\{ x_0 \})$.

Proof: Tenemos por hipótesis:

$$f\in \mathcal{C}(\{x_0 \}) \Longleftrightarrow \forall \varepsilon ' >0, \exists \delta' = \delta'(\varepsilon')>0: |x-x_0|<\delta' \Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon'$$

$$g\in \mathcal{C}(\{ f(x_0) \}) \Leftrightarrow \forall \varepsilon '' >0, \exists \delta '' (\varepsilon'')>0: |x-f(x_0)|<\delta'' \Rightarrow |g(x) - g(f(x_0))|<\varepsilon''$$

Queremos ver:

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta = \delta(\varepsilon)>0: |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |g(f(x))- g(f(x_0))|<\varepsilon$$

Sea $\varepsilon >0$. Tomando $\varepsilon'' = \varepsilon$, encontramos un $\delta''$ verificando $|g(x)-g(f(x_0))|<\varepsilon$ siempre que $|x-f(x_0)|<\delta''$ (2da hipótesis). Basta con tomar $\varepsilon ' = \delta''$ para conseguir otro $\delta'$ tal que $|f(x)-f(x_0)|<\delta ''$ siempre que $|x-x_0|<\delta'$. Bajo esta última condición, apoyándonos en la última hipótesis: $|g(f(x))-g(f(x_0))|<\varepsilon$. Concluimos entonces que, tomando $\varepsilon ''=\varepsilon$ y $\delta = \delta'(\delta'')$ conseguimos:

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta(\varepsilon)>0: |x-x_0|<\delta \Longrightarrow |g(f(x))-g(f(x_0))|<\varepsilon$$

$\square$

(Continuidad de la función inversa) Sea $f$ inyectiva en un dominio $D\subseteq \mathrm{Dom}(f)$. Si $f\in \mathcal{C}(D)$, entonces encontramos $f^{-1}: f(D)\to D$ tal que $f^{-1} \in \mathcal{C}(f(D))$.

Más allá de la continuidad de funciones específicas, uno de los teoremas de continuidad más clásicos y útiles es el conocido como Teorema de Bolzano:

(Th. Bolzano) Sea $f\in \mathcal{C}([a,b])$ tal que $f(a)\cdot f(b)<0$ (signo opuesto en los extremos). Entonces debe existir un $x_0 \in (a,b): f(x_0)=0$.

Proof: Supongamos sin pérdida de generalidad $f(a)>0$ y $f(b)<0$. Consideramos el conjunto:

$$A = \{x\in [a,b): f(x)>0 \} \subseteq [a,b]$$

Ya que $b$ sirve como cota superior de todos los elementos en $A$: resulta ser subconjunto de $\mathbb{R}$ no vacío, acotado superiormente. El Axioma del Supremo indica la existencia de $S=\sup(A)$. Veamos ahora que $f(S)=0$ por reducción al absurdo:

• Si $f(S)<0$, por tratarse de una función continua, debe existir un $\delta_1 >0: f(x)<0$ cuando $x\in [S-\delta_1, S+\delta_1]$. En concreto $f(S-\delta_1) >0$ y $S-\delta_1<S$. Llegamos a un absurdo porque el supremo podría ser $S-\delta_1$ y no $S$.
• Si $f(S)>0$ estamos en las mismas: $\exists \delta_2 >0: f(x) >0, \forall x\in [S-\delta_2, S+\delta_2]$. Ya que $f(S+\delta_2)>0$ y $S+\delta_2 > S$, en todo caso $S+\delta_2$ sería supremo y no $S$.

Necesariamente $f(S)=0$.

$\square$

Una de las consecuencias más importantes del Teorema de Bolzano es el Teorema de Darboux:

(Th. Darboux) Sea $f\in \mathcal{C}([a,b])$ tal que $f(a)\neq f(b)$. Entonces $f$ toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.

Proof: Para demostrar el teorema, supondremos sin pérdida de generalidad $f(a)<f(b)$. Sea $K\in (f(a),f(b))$, queremos ver $\exists c\in (a,b): f(c) = K$. Consideramos la función auxiliar $h(x) = f(x)-K \in \mathcal{C}([a,b])$, consiguiendo $h(a)=f(a)-K<0$ y $h(b)=f(b)-K>0$. Por el Teorema de Bolzano, existe $c\in (a,b): h(c)=0 \Longleftrightarrow f(c)=K$.

$\square$

El teorema previo puede presentarse con otra lectura: Sea $I$ intervalo y $f\in \mathcal{C}(I)$, entonces $f(I)$ es intervalo conexo. También se puede probar que toda función continua en un cerrado es acotada en el mismo (la prueba la omitimos porque involucra intervalos encajados). Para terminar, probamos el conocido Teorema de Weierstrass:

(Th. Weierstrass) Sea $f\in \mathcal{C}([a,b])$. Entonces $f$ alcanza máximo y mínimo absolutos en $[a,b]$.

Proof: Por ser continua en $[a,b]$ intervalo cerrado: $f$ es acotada en $[a,b]$ y existe $S$ supremo de $f([a,b])$. Supongamos por reducción al absurdo, que $f$ no alcanza máximo absoluto en $[a,b]$, o lo que es lo mismo: $f(x) \neq S, \forall x\in [a,b]$. Definimos la función auxiliar: $$h(x) = \frac{1}{S-f(x)}$$

Notar que $\mathrm{Im}(f) \subseteq \mathbb{R}^+$ pues $\sup(f([a,b]))>f(x), \forall x\in [a,b]$. Por las hipótesis planteadas, tenemos $h\in \mathcal{C}([a,b])$. De nuevo, por ser función continua en un cerrado: $\exists K\in \mathbb{R}^+: h(x)<k, \forall x\in [a,b]$. Esto es:

$$\frac{1}{S-f(x)} < k \Longleftrightarrow \frac{1}{k}<S-f(x) \Longleftrightarrow f(x)<S-\frac{1}{k}<S$$

Llegamos a un absurdo, pues $S-\frac{1}{k}$ sería candidato a supremo antes que $S$. Por lo tanto: $\exists \alpha \in [a,b]: f(\alpha) = S$. A partir de $-h(x)$ se prueba el mismo caso con el ínfimo de $f([a,b])$.

$\square$

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