Método de la bisección

El Teorema de Bolzano sobre la continuidad de funciones introduce uno de los métodos más reconocidos y clásicos para buscar solución a cualquier ecuación del tipo $f(x)=0$, siendo $f$ una función continua en un conjunto donde sabemos que hay solución. Indaguemos en la idea del método de la bisección.

De nuevo, supongamos $f\in \mathcal{C}(D)$, con $D\subseteq \mathbb{R}$ subconjunto conexo no vacío. Si encontramos $a,b \in D: a<b \wedge f(a)\cdot f(b)<0$, el Teorema de Bolzano confirma la existencia de un $c_0 \in (a,b)$ tal que $f(c_0)=0$. Tomamos ahora el punto medio $c_1 = \frac{a+b}{2}$ como aproximación de la solución, de forma que el error cometido es acotable: $|E_1| < \frac{b-a}{2}$.

Dividimos ahora el intervalo $[a,b]$ en dos partes iguales: $[a,c_1], [c_1,b]$. Si $f(c_1)=0$, ya tenemos la solución que buscábamos y el problema acaba aquí. En caso contrario, en función del signo de $f(c_1)$, tendremos solución asegurada en uno de los dos intervalos. Pongamos que $f(c_1)\cdot f(b) <0$. Ya que $f\in \mathcal{C}([c_1, b])$, el Teorema de Bolzano vuelve a garantizar la existencia de una raíz en dicho intervalo. Pongamos ahora $c_2 = \frac{c_1 +b}{2}$ como aproximación de la solución, de forma que el error cometido en este caso es $|E_2| < \frac{b-a}{4}$ (en total hemos partido el intervalo $[a,b]$ en cuatro partes iguales y hemos tomado una)

Pues esta es la idea fundamental del método de la bisección para la búsqueda de soluciones a ecuaciones que involucran funciones continuas. Los $c_1,c_2,...$ son las aproximaciones que vamos obteniendo, de forma que si queremos aproximar con una precisión dada, basta con manejar un $n\geq n_0$ tal que $|E_{n_0}|<\frac{b-a}{2^{n_0}}$ es tan chico como se requiera, siendo $[a,b]$ un intervalo con solución.

Formalmente, podemos introducir el algoritmo del método como procede:

(Método de la bisección) Se considera la ecuación $f(x)=0$, con $f \in \mathcal{C}([a,b]): f(a)<0, f(b)>0$. Consideradas las sucesiones definidas por recurrencia:

$$a_1=a \quad , a_n = \begin{cases} a_{n-1} & , f \left ( \frac{1}{2} \left (a_{n-1} + b_{n-1} \right ) \right )>0 \\ \frac{1}{2}(a_{n-1} + b_{n-1}) & , f \left ( \frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1}) \right )<0 \end{cases} \ , \forall n \geq 2$$

$$b_1=b \quad , b_n = \begin{cases} b_{n-1} & , f \left ( \frac{1}{2} \left (a_{n-1} + b_{n-1} \right ) \right )<0 \\ \frac{1}{2}(a_{n-1} + b_{n-1}) & , f \left ( \frac{1}{2}(a_{n-1}+b_{n-1}) \right )>0 \end{cases} \ , \forall n \geq 2$$

, la sucesión $\left \{ \frac{a_n + b_n}{2} \right \}$ converge a un $\alpha \in (a,b): f(\alpha) =0$. A su vez, el error producido por cada una de las iteraciones de la sucesión se puede controlar a partir de la expresión:

$$\left | \frac{a_n + b_n}{2} -\alpha \right | < \frac{b-a}{2^n}$$

Además, las sucesiones $\{a_n \}, \{b_n \}$ tienen la peculiaridad de ser monótonas (creciente y decreciente, respectivamente) y acotadas. Es por ello que son convergentes. Pero no solo eso, sino que tienen mismo límite, pues $\mathrm{d}(a_n, b_n) < \frac{b-a}{2^n} \to 0, n\to +\infty$. Se deduce: $\lim a_n = \lim b_n = \alpha: f(\alpha)=0$.

Ejercicios:

1. Encontrar una solución con tres dígitos exactos a la ecuación: $$\cos(x)+x=2$$ Ver solución.
2. Aproximar una solución a la ecuación $\ln x = e^{-x}-1$ con un error menor que $0.01$. Ver solución.

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