Convergencia de una serie

Partiendo de los conceptos estudiados en sucesiones, nos pasamos al trabajo de series numéricas en $\mathbb{R}$. Para comenzar en este maravilloso ámbito, es costumbre preguntarse: Mi ciela, Mi crustácea; dada $\{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}$: ¿Cuanto suma $a_1 + a_2 + ... + a_n +...$?. En sí, se trata de una pregunta absurda, pues si nos vamos a poner a sumar infinitos términos: apaga la luz y vámonos, no acabas nunca. No obstante, podemos darle un enfoque matemático mucho más riguroso al asunto con los conceptos que conocemos. En concreto, trabajando con la sucesión $\{a_n \}$: damos luz a la llamada sucesión de sumas parciales:

$$\{S_n \} = \{a_1 + \dotsb + a_n \}$$

Que la suma que estudiábamos se acerque a tomar un valor concreto, es consecuencia inmediata (y equivalente) a que la sucesión $\{ S_n \}$ sea convergente. Como ser humano en plenas facultades (creo, de momento) considero evidente dar sentido a la suma planteada únicamente cuando esto ocurre. A dicho sentido se le conoce como CONVERGENCIA DE LA SERIE $\sum a_n$. Nos lanzamos ahora con la definición propia:

(Definición, convergencia de una serie) Dada una sucesión de números reales $\{a_n \}$, definimos a la serie de $a_n$, $\sum a_n$; a partir de la sucesión de sumas parciales $\{S_n \} = \{ \sum_{k=1}^n a_k \}$. En concreto, diremos que $\sum a_n$ es convergente si, y solo si, $\{S_n \}$ es convergente. En el caso de convergencia, se denomina suma de la serie al límite de la sucesión de sumas parciales. Se escribe: $$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \lim_{n\to +\infty} S_n$$

(SOLO EN CASO DE CONVERGENCIA)

La definición que hemos aportado es natural del razonamiento previo, pero no suele emplearse a la hora de enfrentar la discusión de la convergencia de una serie dada. Más bien se suele recurrir a criterios de convergencia para solucionar la cuestión. No obstante, con el trabajo del post anterior, sabemos que la serie armónica:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$$

es divergente, pues la sucesión de sumas parciales resultó ser divergente; y la serie del problema de Basilea:

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$$

, es convergente. Puede resultar confuso al principio digerir este resultado, pues a pesar de que el término general de la serie armónica tiende a cero, no es suficiente la velocidad con la que se achican los términos como para asegurar la convergencia. Sin embargo, sí que es necesario que esto ocurra:

(Condición necesaria de convergencia) Sea $\sum a_n$ una serie convergente. Entonces $\lim_{n \to +\infty} a_n =0$.

Proof: Tenemos por hipótesis la convergencia de $\{S_n \}$. De cualquier forma: $\lim S_n = \lim S_{n+1}$. Haciendo uso del álgebra de límites, tenemos: $\lim (S_{n+1} -S_n) = \lim a_n =0$.

$\square$

Acabamos este post comentando que el carácter de una serie (si es convergente o no) no depende de una colección finita de términos. Es decir, la convergencia de $\sum_{n=n_0} ^{+\infty} a_n$ es equivalente a la de $\sum_{n=n_1}^{+\infty} a_n$, para todos $n_0, n_1 \in \mathbb{N}$ (evidentemente la sucesión debe estar bien definida a partir del natural trabajado). De igual forma, multiplicar el término general de una serie por un real, no nulo no altera su carácter. Enunciaremos el álgebra de series en el siguiente post :).

Anterior post - Siguiente post

Volver al artículo (Cálculo Diferencial de una variable real)