Sucesiones de Cauchy

Comenzamos dando una definición propia de sucesión de Cauchy:

(Definición, sucesión de Cauchy) Decimos que $\{ a_n \}$ es sucesión de Cauchy si, y solo si:

$$\forall \varepsilon >0 , \exists n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall p,q \geq n_0 \Rightarrow |a_p - a_q|< \varepsilon$$

Una de las particularidad de este concepto es que el concepto de límite no interviene en ningún momento en la definición, por lo que se hace una cualidad bastante asequible de trabajar en algunos casos. En particular, veremos que la convergencia de una sucesión y que sea de Cauchy, son conceptos equivalentes. Pero poquito a poco mi ciela. Una de las direcciones de la implicación bicondicional es prácticamente inmediata:

Toda sucesión convergente es de Cauchy.

Proof: Manejamos como hipótesis:

$$\forall \varepsilon' >0, \exists n_0' (\varepsilon ') \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0' \Longrightarrow |a_n -\ell|< \varepsilon'$$

, siendo $\ell = \lim a_n$. Queremos verificar:

$$\forall \varepsilon >0, \exists n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall p,q \geq n_0 \Longrightarrow |a_p - a_q|< \varepsilon$$

Sea $\varepsilon >0$, tenemos:

$$|a_p - a_q| = |a_p - \ell + \ell - a_q| \leq |a_p - \ell| + |\ell -a_q| = |a_p - \ell| + |a_q - \ell|$$

Basta con tomar entonces $\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{2}$ y $n_0 = n_0' \left ( \varepsilon /2 \right )$ para llegar a:

$$|a_p -a_q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \qquad , \forall p,q \geq n_0$$

$\square$

Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Proof: Manejamos como hipótesis:

$$\forall \varepsilon >0, \exists n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall p,q \geq n_0 \Longrightarrow |a_p -a_q|< \varepsilon$$

Otra manera de formular la condición de Cauchy es la siguiente:

$$\forall \varepsilon >0 , \exists n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall p \geq n_0 \Longrightarrow |a_{p+h}-a_p| < \varepsilon \qquad , \forall h \in \mathbb{N}$$

Escogemos $\varepsilon =1$, en concreto para $p=n_0$:

$$|a_{n_0 +h} - a_{n_0}| < 1 \Longleftrightarrow -1 + a_{n_0} < a_{n_0 +h} < 1+a_{n_0} \qquad , \forall h\in \mathbb{N}$$

Por lo tanto: $|a_n| \leq \max \{|a_{n_0}-1|, |a_{n_0} +1| \} = M_1, \forall n \geq n_0$. Por otra parte, ya que $\{a_n: n <n_0 \}$ es un conjunto finito de números, este es acotado. Pongamos $M_0 \in \mathbb{R}: |a_n| \leq M_0, \forall n < n_0$. Se tiene finalmente: $|a_n| \leq \max \{M_0, M_1\}, \forall n\in \mathbb{N}$, concluyendo así que la sucesión es acotada.

$\square$

(Teorema de completitud) Toda sucesión de Cauchy es convergente en $\mathbb{R}$.

Proof: Partimos de que toda sucesión de Cauchy es acotada. Por ser tal, el teorema de Bolzano para sucesiones afirma la existencia de una subsucesión $\{ a_{n_k} \}$ convergente de $\{a_n \}$. Queremos ver que $\lim a_n = \lim a_{n_k} = \ell$. En términos de la definición, tenemos por objetivo verificar:

$$\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 = n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0 \Longrightarrow |a_n - \ell| < \varepsilon$$

Tenemos por hipótesis que $\{ a_n \}$ es sucesión de Cauchy, es decir:

$$\forall \varepsilon ' >0, \exists n'_0 = n'_0 (\varepsilon' ) \in \mathbb{N}: \forall p,q \geq n_0' \Longrightarrow |a_p - a_q| < \varepsilon'$$

, y de ello dedujimos la existencia de $\{a_{n_k}\}$ tal que:

$$\forall \varepsilon '' >0 , \exists n_0'' = n_0 '' (\varepsilon '') \in \mathbb{N}: \forall n_k \geq n_0'' \Longrightarrow |a_{n_k}- \ell| < \varepsilon''$$

Nos lanzamos: Sea $\varepsilon >0$, tenemos:

$$|a_n - \ell| = |a_n - a_{n_k} + a_{n_k}- \ell| \leq |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - \ell|$$

Basta con tomar $\varepsilon' = \varepsilon '' = \frac{\varepsilon}{2} >0$ y $n_0 = \max \{n_0' (\varepsilon/2), n_0''(\varepsilon/2) \}$ (hay un razonamiento detrás, dale al coco mi crustácea) para conseguir:

$$|a_n - \ell| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \qquad, \forall n \geq n_0$$

$\square$

Es importante resaltar que la convergencia de una sucesión de Cauchy está asegurada en $\mathbb{R}$ y no en $\mathbb{Q}$, ya que hemos aplicado el teorema de Bolzano sobre sucesiones en $\mathbb{R}$ como tal. Por lo que se pueden encontrar sucesiones de Cauchy de números racionales que sean convergentes a un número irracional (el límite cae fuera de $\mathbb{Q}$ y diríamos que no converge en dicho cuerpo).

Ejercicios:

1. Probar que la sucesión: $$\{S_n \} = \left \{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right \}$$ , no es de Cauchy (y por lo tanto no converge). Ver solución.
2. Probar que la sucesión: $$\{M_n \} = \left \{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \right \}$$ , es de Cauchy (y por lo tanto convergente). Ver solución.
3. Sea $\{a_n \}$ una sucesión de Cauchy, probar que $\{a_n^2 \}$ es también de Cauchy. ¿Es cierto el recíproco?. Ver solución.

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