Series sumables

Gran parte de las series que a uno se le puede venir a la cabeza, son completamente desconocidas. Incluso hablando en términos de convergencia, se puede complicar el asunto a grandes escalas. Lo mejor de todo es, sin duda: que cuando sabemos que una serie es convergente: ¡Vete a encontrar su suma! Lo cierto es que solo sabemos sumar una ínfima parte de toda la galería de series convergentes que hay por ahí. En este post, trabajaremos algunas series numéricas de las que sí se conoce su suma (bajo respectivas hipótesis, claro está), pero sin entrar en detalle en desarrollos de series de potencias ni técnicas y conceptos más laboriosos: las cosas del palacio llegan despacio.

Empezamos definiendo lo que se conoce como serie geométrica:

(Definición, serie geométrica) En honor a la mítica progresión geométrica, se dice que una serie de la forma $\sum_{n\geq 0} a\cdot r^n$, donde $a,r \in \mathbb{R}$.

Lo particular a la hora de definir este tipo de series es que podemos hacer virguerías con ellas. En nuestro caso, planteando $\{ S_n \}$ la sucesión de sumas parciales:

$$S_n = a + ar + ar^2 + \dotsb + ar^n$$

Multiplicando por $r$ a ambos lados de la igualdad, obtenemos:

$$rS_n = ar+ ar^2 + \dotsb + ar^{n+1}$$

Restando ambas igualdades, tenemos:

$$S_n - rS_n = S_n (1-r) =a(1-r^{n+1})$$

Despejando $S_n$ de la ecuación, concluimos:

$$\boxed{S_n = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r}} \quad , \forall r\neq 1$$

Teniendo en cuenta que la convergencia de una serie habla de la convergencia de la sucesión $\{S_n \}$ que trabajamos en particular, la convergencia de una serie geométrica depende únicamente de la razón $r$ empleada. En concreto, para que el límite:

$$\lim_{n\to +\infty} a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r} \lim_{n\to +\infty} (1-r^{n+1})$$

exista y sea finito: $r$ debe estar en el intervalo $(-1,1)$. En dicho caso, el límite es $\frac{a}{1-r}$. Acabamos de probar el siguiente resultado:

(Convergencia de la serie geométrica) La serie $\sum_{n\geq 0} a\cdot r^n$ es convergente si, y solo si: $|r|<1$. En dicho caso, la suma de la serie es $\frac{a}{1-r}.$

Otro tipo de series importantes son las denominadas telescópicas. Estas tienen la peculiaridad de ir anulando términos en la sucesión de sumas parciales. Damos una definición rigurosa:

(Definición, serie telescópica) Diremos que la serie $\sum_{n\geq 1} a_n$ es telescópica si, y solo si: la sucesión de sumas parciales cumple tener una cantidad fija de sumandos resultado de la cancelación de términos.

Para simplificar el concepto y trabajar con la mayoría de casos, estudiaremos las telescópicas cuya sucesión de sumas parciales sea del tipo $$S_n = (a_2- a_1) + (a_3 - a_2) + \dotsb + (a_n - a_{n-1}) = a_n - a_1$$ Bajo estas condiciones, se tiene que la serie es convergente si, y solo si $\{a_n \}$ es convergente; pues $\lim S_n = \lim (a_n - a_1)$. Evidentemente, si resulta ser convergente, la suma de la serie es el valor del límite expuesto.

Este tipo de series suelen aparecer cuando el término general es un cociente de polinomios, un logaritmo del mismo, una arcotangente... Hagamos un ejemplo: Pongamos que queremos estudiar la convergencia de la serie:

$$\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^2 - n}$$

Obsérvese que el término general de la serie se puede descomponer en fracciones parciales. En concreto:

$$\frac{1}{n^2 - n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \qquad , \forall n \geq 2$$

La sucesión de sumas parciales de la serie se comporta de la siguiente forma:

$$\begin{matrix} S_1 = 1- \frac{1}{2} \\ S_2 = 1- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} \\ \vdots \\ S_k = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dotsb - \frac{1}{k-1} + \frac{1}{k} = 1 - \frac{1}{k} \end{matrix}$$

, para todo $k\in \mathbb{N}$. Evidentemente $\lim S_n = 1$ y por lo tanto la serie es convergente con suma $1$. Más allá de este tipo de series, encontramos desarrollos en series de potencias tipo la función exponencial:

$$e^x = \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{n!} \qquad , \forall x\in \mathbb{R}$$

; y algunas series misceláneas como las series hipergeométricas. Estas últimas no son muy trabajadas así que las omitiremos.

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