Criterios de convergencia. Convergencia absoluta

Antes de comenzar, trabajamos el álgebra de series convergentes:

(Álgebra de series convergentes) Sean $\sum_{n\geq 1} a_n, \sum_{n\geq 1} b_n$ dos series convergentes. Sucede que la serie:

$$\sum_{n\geq 1} \left ( \alpha\cdot a_n + \beta\cdot b_n \right )$$

, es también convergente, $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

Proof: La demostración es muy sencilla: Partimos de la convergencia (por definición) de las sucesiones de sumas parciales:

$$\{S_n \} = \{a_1 + \dotsb + a_n \} \quad \{M_n \} = \{b_1 + \dotsb + b_n \}$$

Para justificar la convergencia de la serie $\sum_{n\geq 1} \left ( \alpha\cdot a_n + \beta\cdot b_n \right )$, basta con estudiar la convergencia de la sucesión:

$$\{P_n \} = \{\alpha a_1 + \beta b_1 + \dotsb + \alpha a_n + \beta \cdot b_n \} = \{\alpha S_n + \beta M_n \}$$

, la cual es evidentemente convergente gracias al álgebra de límites. De hecho, la suma de la serie enunciada, siendo $A = \sum_{n\geq 1} a_n, B = \sum_{n\geq 1} b_n$; es $\alpha A+ \beta B$ por la misma razón.

$\square$

Habiendo ya trabajado el álgebra de series convergentes, disponemos de una serie de criterios para discutir la convergencia de determinadas series. Comenzamos con los criterios de convergencia para series de términos positivos. Comenzamos con el más evidente de todos:

(Criterio de comparación) Sean $\sum_{n\geq 1} a_n, \sum_{n\geq 1} b_n$ dos series de términos positivos. El criterio plantea dos casos:

• Si $\exists n_0 \in \mathbb{N}: a_n \leq b_n, \forall n \geq n_0$ y la serie $\sum b_n$ es convergente: Sucede que $\sum a_n$ es también convergente.
• Si $\exists n_0' \in \mathbb{N}: a_n \geq b_n, \forall n \geq n_0'$ y la serie $\sum b_n$ es divergente: Sucede que $\sum a_n$ es también divergente.

Proof: Justificamos el primer caso: Ya que el carácter de una serie no viene dado por una colección finita de sus términos, podemos suponer $a_n \leq b_n, \forall n \in \mathbb{N}$. Si $\sum b_n$ es convergente, tenemos que la sucesión $\{S_n \} = \{b_1 + \dotsb + b_n \}$ es convergente. Pongamos: $$\lim_{n\to +\infty} b_1 + \dotsb +b_n = \ell \in \mathbb{R}$$ Teniendo en cuenta la desigualdad de la que partimos:

$$0 \leq a_1 + \dotsb + a_n \leq b_1 + \dotsb + b_n$$

Tomando límite en la cadena de desigualdades, tenemos:

$$0 \leq \lim_{n\to +\infty} a_1 + \dotsb + a_n \leq \lim_{n\to + \infty} b_1 + \dotsb + b_n$$

Es decir: $\lim_{n\to +\infty} \{a_1 + \dotsb + a_n\} \in [0,\ell]$. Se deduce la convergencia de la sucesión de sumas parciales y, por definición: $\sum a_n$ converge. Respecto al segundo caso: se llega a que $a_1 + \dotsb + a_n \geq b_1 + \dotsb + b_n$, y por lo tanto, siendo $\lim_{n\to +\infty} \{ b_1 + \dotsb + b_n \} = +\infty$; necesariamente la serie $\sum a_n$ es divergente.

$\square$

También puede resultar especialmente útil el siguiente criterio elemental:

(Criterio: paso al límite) Sean $\sum a_n, \sum b_n$ dos series de términos positivos. Si el límite:  $$L = \lim_{n\to +\infty} \frac{a_n}{b_n}$$

, existe y es positivo: las series $\sum a_n, \sum b_n$ tienen el mismo carácter.

Se viene un clásico:

(Criterio del cociente) Sea $\sum a_n$ una serie de términos positivos. Supóngase la existencia del límite:

$$L= \lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \in [0,+\infty) \cup \{+\infty \}$$

Distinguimos tres casos:

• Si $0 \leq L < 1$: La serie es convergente.
• Si $L > 1$: La serie es divergente.
• Si $L=1$: El criterio no decide. No se puede determinar el carácter.

Proof: Supongamos $0 \leq L < 1$. En dicho caso, tenemos:

$$\forall \varepsilon >0, \exists n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n\geq n_0 \Longrightarrow \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} -L \right |< \varepsilon$$

Tómese $\varepsilon = \frac{1-L}{2} \in [0,1)$. Se tiene:

$$\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} -L \right | < \frac{1-L}{2} \ \equiv \ \frac{3L-1}{2}a_n < a_{n+1} < \frac{1+L}{2}a_n \qquad , \forall n\geq n_0$$

Usaremos la segunda desigualdad en cuestión. Obsérvese:

$$\begin{matrix} \displaystyle  a_{n_0+1} < \frac{1+L}{2}a_{n_0} \\ \displaystyle  a_{n_0+2} < \frac{1+L}{2}a_{n_0+1} < \left ( \frac{1+L}{2} \right )^2 a_{n_0}\\ \displaystyle  \vdots\\ \displaystyle  a_{n_0+k} < \frac{1+L}{2}a_{n_0+k-1} < \dotsb < \left ( \frac{1+L}{2} \right )^k a_{n_0} \end{matrix}$$

, siendo $k$ un natural cualquiera. Resumidamente, se consigue:

$$\sum_{n = n_0 +1} ^{k} a_n < \frac{1+L}{2}a_{n_0} + \left ( \frac{1+L}{2} \right )^2 a_{n_0} + \dotsb + \left ( \frac{1+L}{2} \right )^k a_{n_0} = a_{n_0} \sum_{n=1}^k \left ( \frac{1+L}{2} \right )^n$$

Ya que podemos trabajar con cualquier $k$ natural, podemos aplicar el criterio de comparación para asegurar la convergencia de la serie $\sum_{n\geq n_0} a_n$, pues $\sum \left ( \frac{1+L}{2} \right )^n$ es una serie geométrica de razón positiva (o nula) y menor que uno, y por lo tanto converge. En el caso de $L>1$, se debe tomar $\varepsilon = \frac{L-1}{2}>0$. Tenemos las mismas desigualdades que dedujimos en un principio, pero invertidas. Utilizando la primera que resulta, deducimos:

$$\sum_{n = n_0 +1} ^{k} a_n >  a_{n_0} \sum_{n=1}^k \left ( \frac{1+L}{2} \right )^n$$

Bajo el mismo razonamiento del caso anterior, aplicamos el criterio de comparación y teniendo en cuenta que $\frac{1+L}{2} >1$, la serie geométrica presente diverge y por lo tanto la serie $\sum a_n$ también. En el caso de $L=1$, ponemos dos ejemplos diferentes: la serie armónica y $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}$. A pesar de que:

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} = 1$$

, la armónica es divergente y la otra convergente :).

$\square$

(Criterio de la raíz) Sea $\sum a_n$ una serie de términos positivos. Supóngase la existencia del límite:

$$L= \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n}$$

Distinguimos tres casos:

• Si $0 \leq L < 1$: La serie es convergente.
• Si $L > 1$: La serie es divergente.
• Si $L=1$: El criterio no decide. No se puede determinar el carácter.

Proof: La prueba es muy similar a la del criterio del cociente. En concreto, de la definición de límite sacamos:

$$\forall \varepsilon >0 , \exists n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}: |\sqrt[n]{a_n}-L|<\varepsilon \qquad , \forall n \geq n_0$$

De nuevo, tomando $\varepsilon = \frac{1-L}{2}$:

$$|\sqrt[n]{a_n}-L|< \frac{1-L}{2} \equiv \frac{3L-1}{2} < \sqrt[n]{a_n} < \frac{1+L}{2} \qquad , \forall n\geq n_0$$

Tomando potencia enésima en la última desigualdad, llegamos a: $a_n < \left ( \frac{1+L}{2} \right )^n$. Por el criterio de comparación, ya que la serie $\sum_{n\geq n_0} \left ( \frac{1+L}{2} \right )^n$ es convergente, $\sum_{n\geq n_0} a_n$ converge y por lo tanto $\sum_{n\geq 1} a_n$ también. Un procedimiento análogo sirve para probar el caso de divergencia para $L>1$.

$\square$

(Criterio de Raabe) Sea $\sum a_n$ una serie de términos positivos. Supóngase la existencia del límite:

$$L= \lim_{n\to +\infty} n\cdot \left ( 1 -\frac{a_{n+1}}{a_n} \right )$$

Distinguimos tres casos:

• Si $0 \leq L < 1$: La serie es divergente.
• Si $L > 1$: La serie es convergente.
• Si $L=1$: El criterio no decide. No se puede determinar el carácter.

A la hora de trabajar con series de términos no necesariamente positivos, es muy conveniente hablar y definir la convergencia absoluta de una serie:

(Definición, convergencia absoluta) Se dice que la serie $\sum a_n$ es absolutamente convergente si, y solo si: la serie $\sum |a_n|$ es convergente.

En el caso de que una serie sea convergente y no absolutamente convergente, se dice que es condicionalmente convergente. La funcionalidad de este concepto recae en la siguiente proposición:

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Proof: Supongamos $\sum a_n$ absolutamente convergente. Por definición, requerimos la convergencia de la sucesión de sumas parciales:

$$\{S_{n}' \} = \{|a_1| + \dotsb + |a_n|\}$$

Trabajando en $\mathbb{R}$, el teorema de completitud nos permite afirmar que $\{S_n' \}$ es sucesión de Cauchy:

$$\forall \varepsilon' >0 , \exists n_0' (\varepsilon') \in \mathbb{N}: \forall p,q \geq n_0' \Longrightarrow |S'_p - S'_q| < \varepsilon '$$

Además, se tiene: $|S'_p - S'_q| = ||a_{q+1}| + \dotsb + |a_p|| = |a_{q+1}| + \dotsb + |a_p|$. Veamos que la sucesión de sumas parciales de la serie $\sum a_n$, $\{S_n \}$; es de Cauchy. En efecto:

$$|S_p - S_q| = |a_{q+1} + \dotsb + a_p| \leq |a_{q+1}| + \dotsb + |a_p|$$

Sea $\varepsilon >0$, bastará con tomar $\varepsilon ' = \varepsilon$ para encontrar un $n_0' = n_0 \in \mathbb{N}$ tal que:

$$|S_p - S_q| < \varepsilon \qquad,  \forall p,q \geq n_0$$

Por ser sucesión de Cauchy, la sucesión de sumas parciales de la serie es convergente. Por definición de convergencia: $\sum a_n$ es convergente.

$\square$

Para finalizar, encontramos un criterio clásico y sencillo de contrastar para series alternadas: aquellas de la forma $\sum (-1)^n a_n$, siendo $\{a_n \}$ sucesión de términos positivos.

(Criterio de Leibniz) Sea $\sum (-1)^n a_n$ una serie alternada. Si $\{ a_n \}$ es sucesión monótona decreciente verificando $\lim a_n =0$, entonces la serie planteada es convergente. Además, siendo $\{S_n \}$ la sucesión de sumas parciales de la serie y $S$ la suma de la serie: $|S_n - S| \leq |a_{n+1}|$.

Esta última desigualdad planteada en el criterio permite aproximar la suma de cualquier serie alternada (evidentemente tiene que ser convergente).

Ejercicios:

1. Estúdiese la convergencia de las siguientes series: $$\sum_{n\geq 1} 2^{-n-(-1)^n} \quad \sum_{n\geq 1} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \quad \sum_{n\geq 1} \frac{\sin (n^4)}{\sqrt{1+n^4}}$$ Ver solución.
2. Discutir la convergencia de la siguiente serie en función de los valores del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$: $$\sum_{n\geq 1} n^2 e^{-\alpha n}$$ Ver solución.
3. Estudiar la convergencia de la serie: $$\sum_{n\geq 1} \frac{n}{(-2)^{n-1}}$$ En caso de convergencia, aproximar su suma con un error menor que 0.0001 unidades. Ver solución.

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