Función inversa

Para estudiar el concepto de función inversa, se requiere previamente conocer el concepto de función inyectiva:

(Definición, función inyectiva) Sea $f: A\to \mathbb{R}$ una función y $B\subseteq A$. Diremos que $f$ es inyectiva en $B$ si, y solo si: $f(a) = f(b) \Rightarrow a=b, \forall a,b \in B$.

En otras palabras, una función es inyectiva en $B$ si cualesquiera elementos distintos de $B$ tienen distinta imagen a partir de $f$. Evidentemente, la mayoría de funciones que trabajamos no cumplen esta propiedad, pero sí que podemos restringir el dominio para conducir a una inyectividad buscada. Por ejemplo, la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como $f(x) = x^2, \forall x\in \mathbb{R}$; no es inyectiva pues $f(-1)=f(1)$ y $-1 \neq 1$. Sin embargo, podemos restringir $f$ a $\mathbb{R}^+$, verificando ser inyectiva en dicho dominio.

La idea de función inversa es simplemente devolver los elementos del dominio inyectivo a partir de sus imágenes. Evidentemente, solo podremos definir la función inversa allí donde $f$ sea inyectiva, de lo contrario resultaría una función $f^{-1}$ con más de una imagen para al menos un elemento en $\mathrm{Im}(f)$. Tenemos ya la comprensión para entender la definición:

(Definición, función inversa) Sea $f: A\to \mathbb{R}$ una función inyectiva. Definimos $f^{-1}: f(A) \to A$ verificando $f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_{f(A)}$ y $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{A}$.

, donde: $$\begin{matrix} \mathrm{id}_A : & A & \longrightarrow & A \\ & a & \rightsquigarrow & \mathrm{id}_A(a) = a \ , \forall a \in A \end{matrix}$$

Dentro de la gama de funciones inversas, destacan las funciones inversas trigonométricas. Ya que ninguna de las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) son inyectivas en sus dominios, es necesario trabajar una restricción en el dominio para poder definir su respectiva función inversa. Se considera:

• $ \left [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ]$ como dominio inyectivo de $\sin(x)$.
• $[0, \pi]$ como dominio inyectivo de $\cos(x)$.
• $\left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right )$ como dominio inyectivo de $\tan(x)$.

Y por lo tanto tenemos que las funciones trigonométricas inversas se definen como:

$$\begin{matrix} \arcsin: & [-1,1] & \longrightarrow & \left [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ] & \quad & , \sin(\arcsin x) = x \ , \forall x \in [-1,1] \\ \arccos: & [-1,1] & \longrightarrow & [0,\pi] & \quad & , \cos(\arccos x) = x \ , \forall x\in [-1,1] \\ \arctan: & \mathbb{R} & \longrightarrow & \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) & \quad & , \tan(\arctan x) = x \ , \forall x \in \mathbb{R} \end{matrix}$$

Ahí van unas gráficas:

Ejercicios:

1. Calcular las funciones inversas (en un dominio inyectivo) de: $$f(x) = -9 \sqrt{7-x^2} +1 \qquad g(x) = \frac{4x-3}{3x-8}$$
2. Demostrar la igualdad: $$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \qquad , \forall x \in \mathbb{R}$$

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