Criterios para el cálculo de límites
Partiendo de este resultado, podemos demostrar algunos criterios más elementales y clásicos:
Proof: Basta con aplicar el criterio de Stolz trabajando las sucesiones \{ \sum_{n=1}^k a_n \}_k , \{ n \}, siendo la última monótona creciente y divergente.
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Proof: Pongamos \ell = \lim a_n y llamemos L al límite de la media geométrica:
L = \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}
Tomando logaritmo a ambos lados de la igualdad y aplicando propiedades del límite, obtenemos:
\ln L = \ln \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} = \lim_{n\to +\infty} \ln \left ( \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} \right ) = \lim_{n\to +\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \ln(a_k)}{n}
Por el criterio de la media aritmética, ya que \{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}^+ tiene límite: \{ \ln (a_n) \} también tiene; verificando:
\ln L = \lim_{n\to +\infty} \ln(a_n) = \ln(\ell)
Necesariamente, ya que el logaritmo es una función inyectiva: L = \ell.
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Proof: La prueba se reduce a considerar la expresión:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \dotsb \frac{a_n}{a_{n-1}}} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \dotsb \frac{a_n}{a_{n-1}}}
Ya que a_1 \in \mathbb{R}^+ \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a_1} = 1 y además, por el criterio de la media geométrica, el segundo límite es precisamente el de la sucesión \left \{ \frac{a_n}{a_{n-1}} \right \}. Queda completada la prueba.
\square
- Encontrar el límite: \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left (1+\frac{2}{1+\sqrt{2}} + \frac{3}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \ldots + \frac{n}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n}} \right ) Ver solución.
- Calcular el límite de la sucesión: \{a_n \} = \left \{ \sqrt[n]{\binom{2n}{n}} \right \} Ver solución.
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