Criterios para el cálculo de límites

A parte de los métodos tradicionales para el cálculo de límites, dadas las circunstancias debemos conocer algunos métodos básicos para trabajar límites de sucesiones algo más laboriosos. Empezamos con un clásico salva vidas:

(Criterio de Stolz) Sean $\{a_n \}, \{b_n \} \subseteq \mathbb{R}$ dos sucesiones. Si $\{b_n \}$ es monótona creciente y divergente, o bien es monótona decreciente con $\lim a_n = \lim b_n = 0$; entonces:

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to +\infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$$

Partiendo de este resultado, podemos demostrar algunos criterios más elementales y clásicos:

(Criterio de la media aritmética) Sea $\{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}$ sucesión, entonces si tiene límite:

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} = \lim_{n \to +\infty} a_n$$

Proof: Basta con aplicar el criterio de Stolz trabajando las sucesiones $\{ \sum_{n=1}^k a_n \}_k , \{ n \}$, siendo la última monótona creciente y divergente.

$\square$

(Criterio de la media geométrica) Sea $\{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}^+$ sucesión con límite, entonces:

$$\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} = \lim_{n \to +\infty} a_n$$

Proof: Pongamos $\ell = \lim a_n$ y llamemos $L$ al límite de la media geométrica:

$$L = \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}$$

Tomando logaritmo a ambos lados de la igualdad y aplicando propiedades del límite, obtenemos:

$$\ln L = \ln \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} = \lim_{n\to +\infty} \ln \left ( \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n} \right ) = \lim_{n\to +\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \ln(a_k)}{n}$$

Por el criterio de la media aritmética, ya que $\{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}^+$ tiene límite: $\{ \ln (a_n) \}$ también tiene; verificando:

$$\ln L = \lim_{n\to +\infty} \ln(a_n) = \ln(\ell)$$

Necesariamente, ya que el logaritmo es una función inyectiva: $L = \ell$.

$\square$

(Criterio de la raíz) Sea $\{ a_n \} \subseteq \mathbb{R}^+$ sucesión. Si existe el límite de la sucesión: $\left \{ \frac{a_n}{a_{n-1}} \right \}$ , entonces: $$\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to +\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$$

Proof: La prueba se reduce a considerar la expresión:

$$\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \dotsb \frac{a_n}{a_{n-1}}} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{\frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \dotsb \frac{a_n}{a_{n-1}}}$$

Ya que $a_1 \in \mathbb{R}^+ \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a_1} = 1$ y además, por el criterio de la media geométrica, el segundo límite es precisamente el de la sucesión $\left \{ \frac{a_n}{a_{n-1}} \right \}$. Queda completada la prueba.

$\square$

Ejercicios:

1. Encontrar el límite: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left (1+\frac{2}{1+\sqrt{2}} + \frac{3}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \ldots + \frac{n}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{n}} \right )$$ Ver solución.
2. Calcular el límite de la sucesión: $$\{a_n \} = \left \{ \sqrt[n]{\binom{2n}{n}} \right \}$$ Ver solución.

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