El número $e$

Dedicaremos este post a introducir el número $e$ en condiciones y con rigurosidad. Vamos a empezar entrando en razón con la definición usual que se nos da de este número: $$e= \lim_{n\to +\infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n$$ Empezamos justificando la convergencia de la sucesión $\left \{ \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n \right \}$. Empezamos trabajando una cota superior para los términos de la sucesión:

El conjunto definido como $A = \left \{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \ , n \in \mathbb{N} \right \}$ es acotado superiormente.

Proof: Se puede probar fácilmente la desigualdad: $n! \geq 2^{n-1}, \forall n \geq 1$. En base a ello, para todo elemento de $A$ se tiene:

$$1 + \frac{1}{1!} + \dotsb + \frac{1}{n!} \leq 1 + \frac{1}{2^0} + \dotsb + \frac{1}{2^{n-1}} = 1+ \sum_{k=0}^{n-1} \left ( \frac{1}{2} \right )^k$$

Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

$$1+ \sum_{k=0}^{n-1} \left ( \frac{1}{2} \right )^k = 1+ \frac{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}}{1-\frac{1}{2}} = 3 - \frac{1}{2^{n-2}} \leq 3$$

Hemos encontrado entonces que $3$ es cota superior de los elementos de $A$.

$\square$

(Acotada superiormente) El conjunto $B = \left \{ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n : n \in \mathbb{N} \right \}$ es acotado superiormente.

Proof: Para comenzar la prueba, trabajamos la expresión general de los elementos que integran a $B$ con la fórmula del binomio:

$$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$$

El término enésimo de la suma es el siguiente:

$$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\dotsb (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \color{brown} =$$

Evidentemente $(n-k)!$ se cancela. Administrando la potencia $n^k$ del denominador de acuerdo con los factores en el numerador, resulta:

$$\color{brown} = \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \dotsb \frac{n-k+1}{n} \leq \frac{1}{k!}$$

En conclusión:

$$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

, y teniendo que el conjunto $A = \left \{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \ , n \in \mathbb{N} \right \}$ es acotado superiormente, $B$ también debe serlo.

$\square$

(Monótona creciente) La sucesión $\left \{ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \right \}$ es monótona creciente.

Proof: Evidentemente se trata de una sucesión de términos positivos. Podemos comprobar que el cociente entre un término y el anterior es mayor o igual que uno para realizar la prueba. En efecto, se tiene:

$$\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^n}=\left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}\ge \left(1+\frac1n\right)\,\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

, donde la última desigualdad se deduce fácilmente de la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^n \geq 1+nx, \forall x\geq -1, n \in \mathbb{N}$.

$\square$

En resumidas cuentas, hemos probado que la sucesión $\left \{ \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n \right \}$ es monótona creciente acotada superiormente. Se deduce entonces su convergencia, y por lo tanto podemos definir con total tranquilidad:

$$\boxed{e=\lim_{n\to +\infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n}$$

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