Definición de función derivable ¿De dónde sale la famosa tabla?

Es en este tipo de ámbitos en el que nos damos cuenta de que sin la idea y concepto de límite: no vamos a ninguna parte. En concreto, la definición de función continua exige el conocimiento de un límite. Pues lo mismo pasa con la derivabilidad de una función:

(Definición, función derivable) Sea $I$ un abierto y $f:I\to \mathbb{R}$ una función. Decimos que $f\in \mathcal{D}(\{ x_0 \}), x_0 \in I$ si, y solo si existe el límite:

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

, y es finito. En ese caso, el valor del límite pasa a denotarse como $f'(x_0)$ (derivada de $f$ en $x_0$). Diremos también que $f$ es derivable en un intervalo abierto $I'\subseteq I$ si el límite existe para cada $x_0 \in I'$, en cuyo caso podemos definir la función derivada en $I'$ como:

$$\begin{matrix} f': & I' & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x_0 & \rightsquigarrow & f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{matrix}$$

A la hora de trabajar la derivabilidad de una función en un intervalo cerrado, interviene el concepto de derivada lateral:

(Definición, derivadas laterales) Sea $f$ función definida en $(x_0-\delta, x_0)$ y $g$ definida en $(x_0, x_0 + \delta)$, con $\delta>0$. En caso de existir, las derivadas laterales son:

$$f'_{-} (x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad \mathrm{(Límite \ lateral \ izquierdo})$$

$$g'_+ (x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \quad \mathrm{(Límite \ lateral \ derecho)}$$

En base a la definición dada, una función $f$ se dirá continua en $[a,b]$ si, y solo si (definición): $f\in \mathcal{D}((a,b))$ y tiene derivada lateral izquierda en $x=a$ y derivada lateral derecha en $x=b$. Dicho esto, lo que se suele hacer en el instituto es montarse el paripé explicando el tema de la tangencia a una función en un punto, y largar la tabla de derivadas a diestro y siniestro, sin justificación alguna. No es mi intención jugar con las mismas cartas.

Dedicaré un momentito a la tangencia respecto de una función derivable. En sí, cuando tratamos de encontrar una recta que une dos puntos dados, la pendiente de la misma entra en juego, pues define la inclinación y comportamiento de dicha recta. Para lograr obtener su pendiente, lo que se acostumbra a hacer es tomar el cociente incremental del eje $OY$ respecto al eje $OX$. Es decir, cuando tomamos en consideración una recta que pasa por los puntos $(x_0,y_0), (x_1,y_1)$, su pendiente es: $\frac{y_1 -y_0}{x_1 -x_0}$. Cuando involucramos una función para tomar sus valores en el eje $OY$, el cociente se convierte en $\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 -x_0}$. De locos como nos acercamos a la expresión de la derivada en $x_0$:

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Solo nos queda acertar un pasito más: la proximidad de $x_1$ y $x_0$, que es lo que indica propiamente el límite en la definición. Por lo tanto, a la hora de hablar de una recta tangente a una función $f$ en un punto $x_0$, requiriendo la derivabilidad de la misma, la idea es tomar la recta que pasa por $(x_0, f(x_0))$ y otro punto $(x_1, f(x_1))$ haciendo $x_1 \to x_0$.

Concluimos entonces que, siendo $f\in \mathcal{D}(\{x_0 \})$, la recta tangente a $f$ en $x_0$ toma la ecuación (punto pendiente):

$$\boxed{r: y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)}$$

Pasamos ahora a justificar la famosa tabla de derivadas:

#1: $f(x) = \mathrm{cte}$, entonces $f'(x)=0, \forall x\in \mathbb{R}$.

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\mathrm{cte} - \mathrm{cte}}{h} = 0 \quad , \forall x_0 \in \mathbb{R}$$

$\square$

#2 $f(x) = x^n, n\neq 0$, entonces $f'(x)=nx^{n-1}, \forall x\in \mathbb{R}$.

$$\begin{eqnarray} f'(x_0) &=& \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n - x_0^n}{x-x_0} = \\ &=& \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0 + \dotsb + xx_0^{n-2}+x_0^{n-1})}{x-x_0} = nx_0 ^{n-1} \ , \forall x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$$

$\square$

#3 $f(x) = e^x$, entonces $f'(x)=e^x, \forall x\in \mathbb{R}$.

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{e^{x_0+h} - e^{x_0}}{h} = e^{x_0} \cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^h -1}{h} = e^{x_0} \quad , \forall x_0 \in \mathbb{R}$$

$\square$

#4 $f(x) = \ln x$, entonces $f'(x) = \frac{1}{x}, \forall x\in \mathbb{R}^+ = (0,+\infty)$.

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{\ln(x_0 +h)-\ln(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln \left ( \frac{x_0 +h}{x_0} \right )}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln \left ( 1+\frac{h}{x_0} \right )}{h}$$

Basta con multiplicar numerador y denominador por $\frac{1}{x_0}$ (posible pues $x_0\neq 0$), y aplicar infinitésimo:

$$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{x_0} \frac{\ln \left ( 1+ \frac{h}{x_0} \right )}{\frac{h}{x_0}} = \frac{1}{x_0}$$

$, \forall x_0 \in \mathbb{R}^+$

$\square$

#5 $f(x) = \sin(x)$, entonces $f'(x) = \cos(x), \forall x\in \mathbb{R}$.

$$\begin{eqnarray} f'(x_0) &=& \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x_0)\cos(h) + \sin(h)\cos(x_0) - \sin(x_0)}{h} = \\ & = & \sin(x_0) \left ( \lim_{h\to 0} \frac{\cos(h) -1}{h} \right ) \ + \cos(x_0) \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos(x_0) \end{eqnarray}$$

$,\forall x_0 \in \mathbb{R}$

$\square$

#6 $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x), \forall x\in \mathbb{R}$.

$$\begin{eqnarray} f'(x_0) &=& \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x_0+h)-\cos(x_0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x_0)\cos(h)-\sin(x_0)\sin(h) - \cos(x_0)}{h} = \\ & = & \cos(x_0) \left ( \lim_{h\to 0} \frac{\cos(h) -1}{h} \right ) \ - \sin(x_0) \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = -\sin(x_0) \end{eqnarray}$$

$,\forall x_0 \in \mathbb{R}$

$\square$

Ejercicios:

1. Probar el álgebra de funciones derivables (la suma y producto de funciones derivables, es derivable; multiplicar una función por un escalar cualquiera no altera a su derivabilidad; el cociente de funciones derivables es derivable cuando el denominador no se anula).
2. Considérese la función: $$f(x) = \begin{cases} x & , x\in \mathbb{Q} \\ -x & , x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$$ , probar que $f$ no es derivable en ningún punto. Considerando $g(x) = xf(x)$, probar que $g$ es únicamente derivable en $x=0$. Ver solución.
3. Sea $f\in \mathcal{D}(\{a \})$, determinar: $$\lim_{x\to a} \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \left [ \frac{f(x)}{f(a)} -1 \right ] \quad , a>0 \qquad \lim_{x\to a} \frac{a^n f(x)- x^n f(a)}{x-a} \quad , n\in \mathbb{N}$$ $$\lim_{n\to +\infty} \left ( nf(a) - \sum_{j=1}^n f(a+j/n^2) \right )$$
4. Sea $$p(x) = \begin{cases} 0 & , x\in \mathbb{Q} \\ 1 & , x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$$ (i) Prueba que la función $g(x) = x^2 p(x)$ es únicamente derivable en $x=0$. (ii) Demuestra la generalidad siguiente: Dado $n\in \mathbb{N}$, la función $h(x) = x^n p(x)$ es $(n-1)$ veces derivable en $x=0$. (iii) Considera la función auxiliar $f(x) = (x-1)^2 p(x)$ para justificar la existencia de una función únicamente derivable en dos puntos.

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