Teoremas básicos de derivabilidad

El concepto de función derivable, introduce una serie de propiedades a deducir respecto de las funciones que verifican serlo. En este post, trataremos algunos de los teoremas clásicos para funciones derivables, pero antes probaremos:

Toda función derivable en un punto es continua en el mismo.

Proof: Dada $f:I\to \mathbb{R}$, tenemos por hipótesis la existencia del límite:

$$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \in \mathbb{R}$$

La idea es definir la función auxiliar:

$$g(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0) \qquad , \forall x\in I\setminus \{x_0 \}$$

, de forma que $\lim_{x\to x_0} g(x) = 0$. Si despejamos $f(x)$ de la ecuación:

$$f(x) =(g(x)+f'(x_0))(x-x_0) + f(x_0)$$

Tomando límite para $x\to x_0$, conseguimos definitivamente:

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} [(g(x)+f'(x_0))(x-x_0) + f(x_0)] = f(x_0)$$

$\square$

Nos introducimos a demostrar dos de los teoremas más aplicables de todo el cálculo diferencial de una variable real:

(Th. Rolle) Sea $f\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b))$ tal que $f(a) = f(b)$. Existe entonces un $x_0 \in (a,b): f'(x_0)=0$.

Proof: Por ser función continua en un cerrado, el Teorema de Weierstrass indica la existencia de máximo y mínimo absoluto en $[a,b]$. Si $\max_{x\in [a,b]} f(x) = \min_{x\in [a,b]} f(x)$, necesariamente la función es constante en $[a,b]$, y por lo tanto $f'(x) = 0, \forall x\in (a,b)$. En caso contrario, la función deberá alcanzar un extremo relativo (ya sea máximo y/o mínimo) en el intervalo. La derivabilidad de $f$ en el mismo permite deducir la existencia de un punto crítico (abscisa con derivada nula). 

En efecto, supóngase sin pérdida de generalidad la existencia de $x_0\in (a,b)$ tal que $(x_0, f(x_0))$ es máximo absoluto de $f$. Ya la derivada existe en dicho punto, las derivadas laterales deben existir y coincidir. El cambio de monotonía en la función permite afirmar que:

$$f'_{-} (x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0$$

$$f'_+ (x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0$$

Necesariamente $f'_{-}(x_0) = f'_+(x_0) = 0 \Longrightarrow f'(x_0)=0$.

$\square$

(Th. Valor Medio) Sea $f\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b))$. Existe entonces un $x_0 \in (a,b)$ verificando:

$$f'(x_0) = \frac{f(b) -f(a)}{b-a}$$

Proof: Basta con aplicar el Teorema de Rolle a la función:

$$h(x) = f(x)(b-a)- (f(b)-f(a))x$$

(NO MEMORIZAR, intenta deducirla siempre) En concreto $h \in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b))$ por hipótesis, y $h(a)=bf(a)-f(b)a = h(b)$. Aplicando el Teorema de Rolle conseguimos un $x_0 \in (a,b): h'(x_0)=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow f'(x_0)(b-a)=f(b)-f(a)$, y por lo tanto:

$$f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$\square$

(Th. Valor Medio Generalizado) Sean $f,g\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b))$. Existe entonces un $x_0 \in (a,b)$ verificando:

$$f'(x_0) (g(b)-g(a))= g'(x_0)(f(b)-f(a))$$

Además, si $g'(x)\neq 0, \forall x\in (a,b)$ y $g(b)\neq g(a)$:

$$\exists x_0 \in (a,b): \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Proof: Trabajar y verificar las hipótesis del Teorema de Rolle a partir de la función auxiliar:

$$\ell(x) = \begin{vmatrix} 1 & f(x) & g(x) \\ 1 & f(a) & g(a)\\ 1 & f(b) & g(b) \end{vmatrix}$$

Procediendo como en la prueba anterior, se encuentra un $x_0$ verificando la igualdad planteada del teorema.

$\square$

Ejercicios:

1. Supóngase $f$ una función derivable en $[6,15]$ tal que $f ( 6 ) = −2$. Sabiendo que $f'(x) < 10$ en todo el intervalo: ¿Cuál es el mayor valor que $f(15)$ puede alcanzar?. Ver solución.
2. Sean $a<b$ dos reales cualesquiera y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ función derivable. Si $f(a)=f(b)$ y $f'(a)=0$, justifica la existencia un $c\in (a,b): f''(c)=f(c)$.
3. Siendo $n\in \mathbb{N}$, calcular el límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^n -1}{x}$$. Ver solución.

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