Teoremas básicos de derivabilidad

El concepto de función derivable, introduce una serie de propiedades a deducir respecto de las funciones que verifican serlo. En este post, trataremos algunos de los teoremas clásicos para funciones derivables, pero antes probaremos:

Toda función derivable en un punto es continua en el mismo.

Proof: Dada f:IR, tenemos por hipótesis la existencia del límite:

f(x0)=lim

La idea es definir la función auxiliar:

g(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f'(x_0) \qquad , \forall x\in I\setminus \{x_0 \}

, de forma que \lim_{x\to x_0} g(x) = 0. Si despejamos f(x) de la ecuación:

f(x) =(g(x)+f'(x_0))(x-x_0) + f(x_0)

Tomando límite para x\to x_0, conseguimos definitivamente:

\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} [(g(x)+f'(x_0))(x-x_0) + f(x_0)] = f(x_0)

\square

Nos introducimos a demostrar dos de los teoremas más aplicables de todo el cálculo diferencial de una variable real:

(Th. Rolle) Sea f\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b)) tal que f(a) = f(b). Existe entonces un x_0 \in (a,b): f'(x_0)=0.

Proof: Por ser función continua en un cerrado, el Teorema de Weierstrass indica la existencia de máximo y mínimo absoluto en [a,b]. Si \max_{x\in [a,b]} f(x) = \min_{x\in [a,b]} f(x), necesariamente la función es constante en [a,b], y por lo tanto f'(x) = 0, \forall x\in (a,b). En caso contrario, la función deberá alcanzar un extremo relativo (ya sea máximo y/o mínimo) en el intervalo. La derivabilidad de f en el mismo permite deducir la existencia de un punto crítico (abscisa con derivada nula). 

En efecto, supóngase sin pérdida de generalidad la existencia de x_0\in (a,b) tal que (x_0, f(x_0)) es máximo absoluto de f. Ya la derivada existe en dicho punto, las derivadas laterales deben existir y coincidir. El cambio de monotonía en la función permite afirmar que:

f'_{-} (x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0

f'_+ (x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0

Necesariamente f'_{-}(x_0) = f'_+(x_0) = 0 \Longrightarrow f'(x_0)=0.

\square

(Th. Valor Medio) Sea f\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b)). Existe entonces un x_0 \in (a,b) verificando:
f'(x_0) = \frac{f(b) -f(a)}{b-a}

Proof: Basta con aplicar el Teorema de Rolle a la función:

h(x) = f(x)(b-a)- (f(b)-f(a))x

(NO MEMORIZAR, intenta deducirla siempre) En concreto h \in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b)) por hipótesis, y h(a)=bf(a)-f(b)a = h(b). Aplicando el Teorema de Rolle conseguimos un x_0 \in (a,b): h'(x_0)=0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow f'(x_0)(b-a)=f(b)-f(a), y por lo tanto:

f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

\square


(Th. Valor Medio Generalizado) Sean f,g\in \mathcal{C}([a,b])\cap \mathcal{D}((a,b)). Existe entonces un x_0 \in (a,b) verificando:
f'(x_0) (g(b)-g(a))= g'(x_0)(f(b)-f(a))
Además, si g'(x)\neq 0, \forall x\in (a,b) y g(b)\neq g(a):
\exists x_0 \in (a,b): \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

Proof: Trabajar y verificar las hipótesis del Teorema de Rolle a partir de la función auxiliar:

\ell(x) = \begin{vmatrix} 1 & f(x) & g(x) \\ 1 & f(a) & g(a)\\ 1 & f(b) & g(b) \end{vmatrix}

Procediendo como en la prueba anterior, se encuentra un x_0 verificando la igualdad planteada del teorema.

\square

Ejercicios:

  1. Supóngase f una función derivable en [6,15] tal que f ( 6 ) = −2. Sabiendo que f'(x) < 10 en todo el intervalo: ¿Cuál es el mayor valor que f(15) puede alcanzar?. Ver solución.
  2. Sean a<b dos reales cualesquiera y f:[a,b]\to \mathbb{R} función derivable. Si f(a)=f(b) y f'(a)=0, justifica la existencia un c\in (a,b): f''(c)=f(c).
  3. Siendo n\in \mathbb{N}, calcular el límite: \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^n -1}{x}. Ver solución.

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