Convergencia de sucesiones

Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de números naturales en los reales: $a_n : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. El concepto de convergencia es el más importante en esta rama, y lo definimos como procede:

(Definición, convergencia) Sea $\{a_n \}$ una sucesión de números reales, diremos que es convergente con límite $\ell \in \mathbb{R}$ si, y solo si: $$\forall \varepsilon >0, \exists n_0 = n_0 (\varepsilon) \in \mathbb{N}: \forall n\geq n_0 \Rightarrow |a_n- \ell| < \varepsilon$$

En otras palabras, diremos que una sucesión tiene límite $\ell$, y lo denotaremos como $\lim_{n\to +\infty} a_n = \ell$, cuando encuentro que los términos de la sucesión se aproximan tanto al límite como uno desee, a partir de un $n_0$ dado. Cuando una sucesión no es convergente, puede ser oscilante o divergente. La definición de divergencia es la siguiente:

(Definición, divergencia) Sea $\{a_n \}$ una sucesión de números reales, diremos que es divergente si, y solo si: $$\forall M >0, \exists n_0 = n_0(M) \in \mathbb{N}: \forall n\geq n_0 \Rightarrow |a_n| > M$$ La anterior definición se puede desglosar en dos según el signo de los términos de la sucesión. Más concretamente: $$\begin{matrix} \lim_{n\to \infty} a_n = +\infty \Longleftrightarrow \forall M>0, \exists n_0 = n_0 (M) \in \mathbb{N} : \forall n\geq n_0 \Rightarrow a_n > M \\ \lim_{n\to \infty} a_n = -\infty \Longleftrightarrow \forall M>0, \exists n_0 = n_0 (M) \in \mathbb{N} : \forall n\geq n_0 \Rightarrow a_n < - M \end{matrix}$$

El caso de sucesión oscilante es simplemente la inexistencia del límite $\lim_{n\to \infty} a_n$. Con estos conceptos claros, una de las formas clásicas de definir una sucesión, es aportando relaciones entre sus términos. Dicho de otra forma, se suele partir de unos términos iniciales $a_1, ..., a_k$ y definir una fórmula de recurrencia $a_{n+1} = f(a_1, ..., a_k, ..., a_n), , \forall n \geq k$. Para poder estudiar este tipo de sucesiones con calma, es necesario conocer un resultado clásico:

Sea $\{a_n \} \subseteq \mathbb{R}$ una sucesión dada. Si la sucesión es acotada superiormente (es decir, existe un $M\in \mathbb{R}: a_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}$) y es monótona creciente ($a_{n+1} \geq a_n, \forall n \in \mathbb{N}$), entonces es convergente.

Proof: Escribimos $A = \{a_n : n\in \mathbb{N} \}$. Por hipótesis, disponemos de $A\neq \varnothing$ subconjunto de $\mathbb{R}$ acotado superiormente. Por axioma del Supremo, existe $S= \sup(A)$. Por caracterización $\varepsilon- n_0$ de supremo: $$\forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: S-\varepsilon < a_{n_0} \color{brown}{ \leq a_{n_0 +1}}$$

Escrito de otra forma: $$S-a_n = |S- a_n| < \varepsilon \qquad , \forall n\geq n_0 (\varepsilon)$$ , donde hemos usado que el supremo de un conjunto es mayor o igual que sus elementos. Por definición, sigue que $\lim_{n\to \infty} a_n = \sup(A) \in \mathbb{R}$, y por lo tanto $\{ a_n \}$ es convergente.

$\square$

Basta con cambiarle el signo a los términos de una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente para aplicar el resultado anterior y deducir su convergencia. Por lo tanto, el problema se reduce en la mayoría de casos, en demostrar la monotonía y alguna cota superior e inferior, según el caso; para la sucesión estudiada. Dicho estudio viene fundamentado del principio de inducción.

Ejercicios:

1. Se define la sucesión por recurrencia $a_1 = 1, a_n = \sqrt{1+a_n}, \forall n \geq 2$. Estudiar la convergencia de esta sucesión, y si lo es: determinar su límite. Ver solución.
2. Comprobar que la sucesión $\{ a_n \}$ definida como: $$(a_1,a_2) = (2,3) \quad  a_n = \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}, \forall n \geq 3$$ , es oscilante.

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