Convergencia de sucesiones

Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de números naturales en los reales: an:NR. El concepto de convergencia es el más importante en esta rama, y lo definimos como procede:

(Definición, convergencia) Sea {an} una sucesión de números reales, diremos que es convergente con límite R si, y solo si: ε>0,n0=n0(ε)N:nn0|an|<ε

En otras palabras, diremos que una sucesión tiene límite , y lo denotaremos como lim, cuando encuentro que los términos de la sucesión se aproximan tanto al límite como uno desee, a partir de un n_0 dado. Cuando una sucesión no es convergente, puede ser oscilante o divergente. La definición de divergencia es la siguiente:

(Definición, divergencia) Sea \{a_n \} una sucesión de números reales, diremos que es divergente si, y solo si: \forall M >0, \exists n_0 = n_0(M) \in \mathbb{N}: \forall n\geq n_0 \Rightarrow |a_n| > M La anterior definición se puede desglosar en dos según el signo de los términos de la sucesión. Más concretamente: \begin{matrix} \lim_{n\to \infty} a_n = +\infty \Longleftrightarrow \forall M>0, \exists n_0 = n_0 (M) \in \mathbb{N} : \forall n\geq n_0 \Rightarrow a_n > M \\ \lim_{n\to \infty} a_n = -\infty \Longleftrightarrow \forall M>0, \exists n_0 = n_0 (M) \in \mathbb{N} : \forall n\geq n_0 \Rightarrow a_n < - M \end{matrix}

El caso de sucesión oscilante es simplemente la inexistencia del límite \lim_{n\to \infty} a_n. Con estos conceptos claros, una de las formas clásicas de definir una sucesión, es aportando relaciones entre sus términos. Dicho de otra forma, se suele partir de unos términos iniciales a_1, ..., a_k y definir una fórmula de recurrencia a_{n+1} = f(a_1, ..., a_k, ..., a_n), , \forall n \geq k. Para poder estudiar este tipo de sucesiones con calma, es necesario conocer un resultado clásico:

Sea \{a_n \} \subseteq \mathbb{R} una sucesión dada. Si la sucesión es acotada superiormente (es decir, existe un M\in \mathbb{R}: a_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}) y es monótona creciente (a_{n+1} \geq a_n, \forall n \in \mathbb{N}), entonces es convergente.

Proof: Escribimos A = \{a_n : n\in \mathbb{N} \}. Por hipótesis, disponemos de A\neq \varnothing subconjunto de \mathbb{R} acotado superiormente. Por axioma del Supremo, existe S= \sup(A). Por caracterización \varepsilon- n_0 de supremo: \forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: S-\varepsilon < a_{n_0} \color{brown}{ \leq a_{n_0 +1}}

Escrito de otra forma: S-a_n = |S- a_n| < \varepsilon \qquad , \forall n\geq n_0 (\varepsilon) , donde hemos usado que el supremo de un conjunto es mayor o igual que sus elementos. Por definición, sigue que \lim_{n\to \infty} a_n = \sup(A) \in \mathbb{R}, y por lo tanto \{ a_n \} es convergente.

\square

Basta con cambiarle el signo a los términos de una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente para aplicar el resultado anterior y deducir su convergencia. Por lo tanto, el problema se reduce en la mayoría de casos, en demostrar la monotonía y alguna cota superior e inferior, según el caso; para la sucesión estudiada. Dicho estudio viene fundamentado del principio de inducción.


Ejercicios:

  1. Se define la sucesión por recurrencia a_1 = 1, a_n = \sqrt{1+a_n}, \forall n \geq 2. Estudiar la convergencia de esta sucesión, y si lo es: determinar su límite. Ver solución.
  2. Comprobar que la sucesión \{ a_n \} definida como: (a_1,a_2) = (2,3) \quad  a_n = \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}, \forall n \geq 3 , es oscilante.

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