Teoremas de densidad

Una de las principales aplicaciones de la propiedad arquimediana, recae en las demostraciones referidas a conjuntos densos. Antes de adentrarnos en ello, damos una definición:

Dado $(X,\tau)$ espacio topológico, decimos que $Y\subseteq X$ es denso en $X$ si, y solo si: $\overline{Y} = X$. En términos más sencillos y aplicables a este contexto (métrico), $Y$ es denso en $X$ si dados dos elementos en $X$, encuentro uno entre medio que pertenezca a $Y$.

Por ejemplo, $Y = [0,2] \setminus \{ 1 \}$ es denso en $X=[0,2]$, pues $\overline{Y} = X$ y en concreto: $\forall a,b \in X: a<b \Rightarrow \exists r \in Y: a<r<b$. Antes de comenzar a demostrar, trabajamos la conocida como parte entera.

Sea $x>0$, definimos la parte entera de $x$ como: $$[x] = \sup \{ n\in \mathbb{N}: n\leq x \}$$

(tiene sentido esta definición pues el conjunto del que tomamos supremo es acotado superiormente por $x$ y no vacío, ya que $0$ pertenece al mismo)

Veamos ahora que $[x]\in \mathbb{N}$. Denotamos $A= \{n \in \mathbb{N}: n\leq x \}$. Por caracterización de supremo, tomando $\varepsilon = \frac{1}{2}$, se debe encontrar un $n_0 \in A$: $n_0 \geq [x] - \frac{1}{2}$. Veamos ahora que $n_0$ es cota superior de $A$. En efecto, si tenemos un $n\in \mathbb{N}: n > n_0 \Leftrightarrow n\geq n_0 +1$. En base a la relación subrayada en rojo: $n_0+1 \geq [x] + \frac{1}{2} > \sup(A)$. En consecuencia $n>n_0$ no pertenece a $A$. Teniendo $n_0 \in A$ cota superior, necesariamente: $\max A = n_0 = \sup(A) \in \mathbb{N}$. Listo ;)

(Densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$) $\forall a,b\in \mathbb{R}: a<b$, $\exists r\in \mathbb{Q} :$ $a<r<b$.

Proof: Se tiene que $b-a>0$. Por la propiedad arquimediana: $$\exists n\in \mathbb{N}: n > \frac{1}{b-a} \Rightarrow b-a > \frac{1}{n} \quad (1)$$ Sea $p=[na]\in \mathbb{Z}$ la parte entera de $na$, se tiene por definición: $$p \leq na<p+1 \Leftrightarrow \underset{(2)}{\underbrace{a \geq \frac{p}{n}}} \ \wedge \ \underset{(3)}{\underbrace{a < \frac{p+1}{n}}}$$ Finalmente: $$b=a+(b-a) \underset{1,2}{>} \frac{p}{n} + \frac{1}{n} = \frac{p+1}{n} \underset{3}{>} a$$ En conclusión: $$a < \frac{p+1}{n} < b \quad , \frac{p+1}{n} \in \mathbb{Q}$$

$\square$

(Densidad de $\mathbb{R}-\mathbb{Q} = \mathbb{I}$ en $\mathbb{R}$) $\forall a,b\in \mathbb{R}: a<b$, $\exists r\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} :$ $a<r<b$.

Proof: Sea $\rho \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}: \rho>0$. Por axiomática del orden: $a-\rho < b-\rho$. Aplicando el teorema de densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, encontramos $q\in \mathbb{Q}$ verificando: $a-\rho < q < b-\rho \equiv a<\rho +q < b$. Ya que la suma de un racional con un irracional es irracional, el número que buscamos es $\varphi = \rho +q$.

$\square$

De manera alternativa, dados $r,s\in \mathbb{Q}$ tales que $a<r<s<b$, el número irracional $r+ \frac{s-r}{\sqrt{2}}$, que es mayor que $r$ y menor que $s$.

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