Funciones hiperbólicas
Por lo que el seno hiperbólico es la función impar asociada a la exponencial, y el coseno hiperbólico la función par misma. Se les conoce como hiperbólicas porque cumplen la igualdad cosh2(x)−sinh2(x)=1 (hipérbola de ecuación x2−y2=1). Destacan también porque son una de las pocas funciones de las cuales se conoce inversa explícitamente. Veamos por ejemplo la inversa de la función seno hiperbólico:
y=ex−e−x2
Recordemos que nuestro objetivo es despejar x. Multiplicando ambos miembros por 2ex obtenemos:
2exy=e2x−1⟺(ex)2−2y⋅ex−1=0
Tomando t=ex, tenemos la ecuación de segundo grado t2−2yt−1=0 con soluciones:
t=ex=y±√y2+1⟹x=ln(y±√y2+1)
Por lo tanto, tenemos dos candidatos a función inversa. Descartamos la del signo negativo en el argumento del logaritmo, pues, en base a la definición de función inversa: arcsinh(0)=0. ln(x+√1+x2) es la única definida en 0 y devuelve el valor esperado, mientras que ln(x−√1+x2) ni siquiera está definida en 0. Declaramos entonces:
arcsinh(x)=ln(x+√1+x2),∀x∈R
, como función inversa del seno hiperbólico. En consecuencia, ya que el dominio de la función obtenida es todo R, sinh(x) deberá ser inyectiva en R=Dom(sinh) (Era previsible por la imparidad de la función). Se puede comprobar que las funciones inversas del coseno y tangente hiperbólica son:
arccosh(x)=log(x+√x2−1),∀x≥1arctanh(x)=12ln(1+x1−x),∀x∈(−1,1)
Dado el dominio de las inversas, deducimos que las demás funciones hiperbólicas no son inyectivas en su dominio. En efecto, la gráfica de las funciones hiperbólicas es la siguiente:
Terminamos el post probando algunas propiedades de las funciones hiperbólicas:
Proof: Probamos (i), (ii), (vi) pues las demás demostraciones son bastante similares. Empezamos probando (i) de una:
cosh2(x)−sinh2(x)=(ex+e−x)24−(ex−e−x)24==e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4=44=1 ✓
Para probar (ii), podemos empezar desarrollando el segundo miembro para llegar al primero:
cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)=ex+e−x2ey+e−y2+ex−e−x2ey−e−y2==(ex+e−x)(ey+e−y)4+(ex−e−x)(ey−e−y)4=2ex+y+2e−x−y4=cosh(x+y)
Finalmente, para probar (vi) basta con reemplazar ix en la expresión del seno hiperbólico:
sinh(ix)=eix−e−ix2=cos(x)+isin(x)−(cos(x)−isin(x))2=isin(x)
, donde hemos hecho uso de la fórmula de Euler.
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