Funciones hiperbólicas

En general, para cualquier función f, podemos definir:
fp(x)=f(x)+f(x)2fi(x)=f(x)f(x)2
, de forma que fp es función par en Dom(f) y fi impar. El origen de las funciones hiperbólicas reside en este resultado. En concreto, tomando f(x)=ex definimos:

(Definición, funciones hiperbólicas) Definimos al seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica como:
sinh(x)=exex2cosh(x)=ex+ex2tanh(x)=sinh(x)cosh(x)=e2x1e2x+1

Por lo que el seno hiperbólico es la función impar asociada a la exponencial, y el coseno hiperbólico la función par misma. Se les conoce como hiperbólicas porque cumplen la igualdad cosh2(x)sinh2(x)=1 (hipérbola de ecuación x2y2=1). Destacan también porque son una de las pocas funciones de las cuales se conoce inversa explícitamente. Veamos por ejemplo la inversa de la función seno hiperbólico:

y=exex2

Recordemos que nuestro objetivo es despejar x. Multiplicando ambos miembros por 2ex obtenemos:

2exy=e2x1(ex)22yex1=0

Tomando t=ex, tenemos la ecuación de segundo grado t22yt1=0 con soluciones:

t=ex=y±y2+1x=ln(y±y2+1)

Por lo tanto, tenemos dos candidatos a función inversa. Descartamos la del signo negativo en el argumento del logaritmo, pues, en base a la definición de función inversa: arcsinh(0)=0. ln(x+1+x2) es la única definida en 0 y devuelve el valor esperado, mientras que ln(x1+x2) ni siquiera está definida en 0. Declaramos entonces:

arcsinh(x)=ln(x+1+x2),xR

, como función inversa del seno hiperbólico. En consecuencia, ya que el dominio de la función obtenida es todo R, sinh(x) deberá ser inyectiva en R=Dom(sinh) (Era previsible por la imparidad de la función). Se puede comprobar que las funciones inversas del coseno y tangente hiperbólica son:

arccosh(x)=log(x+x21),x1arctanh(x)=12ln(1+x1x),x(1,1)

Dado el dominio de las inversas, deducimos que las demás funciones hiperbólicas no son inyectivas en su dominio. En efecto, la gráfica de las funciones hiperbólicas es la siguiente:

Terminamos el post probando algunas propiedades de las funciones hiperbólicas:

(Propiedades de las funciones hiperbólicas) Se cumplen las siguientes identidades:
(i) Ecuación fundamental: cosh2(x)sinh2(x)=1.
Fórmulas de adición:
(ii) cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y).
(iii) cosh(xy)=cosh(x)cosh(y)sinh(x)sinh(y).
(iv) sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+sinh(y)cosh(x).
(v) sinh(xy)=sinh(x)cosh(y)sinh(y)cosh(x).
Relaciones con las funciones trigonométricas:
(vi) sinh(ix)=isin(x).
(vii) cosh(ix)=cos(x).
(viii) tanh(ix)=itan(x).

Proof: Probamos (i), (ii), (vi) pues las demás demostraciones son bastante similares. Empezamos probando (i) de una:

cosh2(x)sinh2(x)=(ex+ex)24(exex)24==e2x+2+e2x4e2x2+e2x4=44=1 

Para probar (ii), podemos empezar desarrollando el segundo miembro para llegar al primero:

cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)=ex+ex2ey+ey2+exex2eyey2==(ex+ex)(ey+ey)4+(exex)(eyey)4=2ex+y+2exy4=cosh(x+y)

Finalmente, para probar (vi) basta con reemplazar ix en la expresión del seno hiperbólico:

sinh(ix)=eixeix2=cos(x)+isin(x)(cos(x)isin(x))2=isin(x)

, donde hemos hecho uso de la fórmula de Euler.


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