Funciones hiperbólicas

En general, para cualquier función $f$, podemos definir:

$$f_p (x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad f_i(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

, de forma que $f_p$ es función par en $\mathrm{Dom}(f)$ y $f_i$ impar. El origen de las funciones hiperbólicas reside en este resultado. En concreto, tomando $f(x) = e^x$ definimos:

(Definición, funciones hiperbólicas) Definimos al seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica como:

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \quad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{2x} -1}{e^{2x}+1}$$

Por lo que el seno hiperbólico es la función impar asociada a la exponencial, y el coseno hiperbólico la función par misma. Se les conoce como hiperbólicas porque cumplen la igualdad $\cosh^2(x)- \sinh^2(x) =1$ (hipérbola de ecuación $x^2-y^2=1$). Destacan también porque son una de las pocas funciones de las cuales se conoce inversa explícitamente. Veamos por ejemplo la inversa de la función seno hiperbólico:

$$y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

Recordemos que nuestro objetivo es despejar $x$. Multiplicando ambos miembros por $2e^x$ obtenemos:

$$2e^x y = e^{2x}-1 \Longleftrightarrow (e^x)^2 -2y\cdot e^x -1=0$$

Tomando $t=e^x$, tenemos la ecuación de segundo grado $t^2 -2yt -1=0$ con soluciones:

$$t= e^x = y\pm \sqrt{y^2 +1} \Longrightarrow x= \ln \left ( y\pm \sqrt{y^2 +1} \right )$$

Por lo tanto, tenemos dos candidatos a función inversa. Descartamos la del signo negativo en el argumento del logaritmo, pues, en base a la definición de función inversa: $\mathrm{arcsinh}(0)=0$. $\ln \left ( x + \sqrt{1+x^2} \right )$ es la única definida en $0$ y devuelve el valor esperado, mientras que $\ln (x-\sqrt{1+x^2})$ ni siquiera está definida en $0$. Declaramos entonces:

$$\boxed{\mathrm{arcsinh}(x) = \ln \left ( x + \sqrt{1+x^2} \right )} \qquad , \forall  x \in \mathbb{R}$$

, como función inversa del seno hiperbólico. En consecuencia, ya que el dominio de la función obtenida es todo $\mathbb{R}$, $\sinh(x)$ deberá ser inyectiva en $\mathbb{R} = \mathrm{Dom}(\sinh)$ (Era previsible por la imparidad de la función). Se puede comprobar que las funciones inversas del coseno y tangente hiperbólica son:

$$\begin{matrix} \mathrm{arccosh}(x) = \log (x+\sqrt{x^2-1}) & , \forall x \geq 1 \\ \mathrm{arctanh}(x) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln \left ( \frac{1+x}{1-x} \right ) & , \forall x\in (-1,1) \end{matrix}$$

Dado el dominio de las inversas, deducimos que las demás funciones hiperbólicas no son inyectivas en su dominio. En efecto, la gráfica de las funciones hiperbólicas es la siguiente:

Terminamos el post probando algunas propiedades de las funciones hiperbólicas:

(Propiedades de las funciones hiperbólicas) Se cumplen las siguientes identidades:

(i) Ecuación fundamental: $\cosh^2(x)-\sinh^2(x) = 1$.

Fórmulas de adición:

(ii) $\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\cdot \sinh(y)$.

(iii) $\cosh(x-y) = \cosh(x)\cosh(y) - \sinh(x) \cdot \sinh(y)$.

(iv) $\sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \sinh(y) \cdot \cosh(x)$.

(v) $\sinh(x-y) = \sinh(x) \cosh(y) - \sinh(y)\cdot \cosh(x)$.

Relaciones con las funciones trigonométricas:

(vi) $\sinh(ix) = i\sin(x)$.

(vii) $\cosh(ix) = \cos(x)$.

(viii) $\tanh(ix) = i\tan(x)$.

Proof: Probamos (i), (ii), (vi) pues las demás demostraciones son bastante similares. Empezamos probando (i) de una:

$$\begin{multline} \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = \frac{(e^{x}+e^{-x})^2}{4} - \frac{(e^x - e^{-x})^2}{4} = \\ = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2 +e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1 \ \checkmark \end{multline}$$

Para probar (ii), podemos empezar desarrollando el segundo miembro para llegar al primero:

$$\begin{multline} \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^y +e^{-y}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \\ = \frac{(e^{x}+e^{-x})(e^y +e^{-y})}{4} + \frac{(e^x - e^{-x})(e^y - e^{-y})}{4} = \frac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4} = \cosh(x+y) \end{multline}$$

Finalmente, para probar (vi) basta con reemplazar $ix$ en la expresión del seno hiperbólico:

$$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = \frac{\cos(x) + i\sin(x) - (\cos(x)-i\sin(x))}{2} = i \sin(x)$$

, donde hemos hecho uso de la fórmula de Euler.

$\square$

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