Infinitésimos clásicos

El concepto de infinitésimo es muy relevante en el cálculo de límites, estimación a partir de aproximaciones... Damos una definición propia:

(Definición, infinitésimos) Dadas dos funciones $f,g$ definidas en un abierto $A$ y $x_0 \in A$, diremos que son infinitésimos en $x_0$ si, y solo si: $\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} g(x)$. Por otra parte, diremos que son infinitésimos equivalentes si, y solo si: $$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$

$f \sim g, \ x\sim x_0$ sirve para denotar que $f$ y $g$ son infinitésimos equivalentes en $x_0$. Por lo que para verificar que dos funciones son infinitésimos equivalentes en un punto dado, basta con comprobar que el limite del cociente de funciones es 1. Empezamos a trabajar con uno de los infinitésimos más clásicos:

$$\sin x \sim x \quad , x\sim 0$$

Proof: Queremos verificar: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$. Comenzamos trabajando el límite lateral derecho. Para ello, planteamos la siguiente construcción geométrica:

Evidentemente, $\mathrm{area}_{\triangle ABC} \leq \mathrm{area}_{\mathrm{sector}} \leq \mathrm{area}_{\triangle AEC}$. Traducido en términos de funciones trigonométricas:

$$\frac{\sin(x)}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan(x)}{2} \Longleftrightarrow \sin(x) \leq x \leq \tan(x)$$

Dividiendo todo por $\sin x$ (se puede hacer pues asumimos $x$ en el primer cuadrante, con ángulo no nulo):

$$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$$

Haciendo $x\to 0^+$, por la regla del Sandwich y ya que $\lim_{x\to 0} \cos x = 1$: $\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\sin x} = 1$. Equivalentemente: $\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$. Para confirmar el límite lateral izquierdo, basta con aplicar la imparidad de la función seno:

$$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t\to 0^+} \frac{-\sin t}{-t} = 1$$

Queda probado entonces el infinitésimo.

$\square$

Este resultado induce a $\tan x \sim x \ , x \sim 0$ como corolario inmediato.

$$1-\cos(x) \sim \frac{x^2}{2} \quad , x\sim 0$$

Proof: Queremos verificar: $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$. Basta con multiplicar y dividir por $1+\cos x$:

$$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2(x)}{x^2 (1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin x}{x} \right )^2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+\cos x} = \frac{1}{2}$$

$\square$

$$\ln (1+x) \sim x \quad , x\sim 0$$

Proof: Se comprueba rápidamente calculando el límite:

$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0} \ln \left ( (1+x)^{\frac{1}{x}} \right ) = \ln \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$$

El límite que resulta es fácil de calcular utilizando la mítica estrategia en los casos $\infty^0$:

$$\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0} \left ( 1+ \frac{1}{\frac{1}{x}} \right )^{\frac{1}{x}} \underset{\mathrm{Def}}{=} e$$

Por lo tanto, ya que $\ln e =1$, la demostración queda finalizada.

$\square$

Tomando exponencial a ambos lados, se deduce también $1+x \sim e^x \ , x\sim 0$ (por si no se lo creen, simplemente hay que tener en cuenta que $\lim_{x\to 0} \frac{e^{\ln(1+x)}}{e^x}=$ $= \lim_{x\to 0} e^{\ln(1+x) -x} = 1$, pues $\ln(1+x)-x \sim 0, x \sim 0$).

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