Integrabilidad Riemann en varias variables. Integración doble y triple

Dedicaremos este post a trabajar la integrabilidad Riemann para funciones de dos o más variables, así como técnicas y utilidades de la integración doble. Pronto se añadirán los contenidos de integración triple. Dejo aquí el post relativo a la integrabilidad Riemann en una variable, por si quieren andar frescos en la materia. 

Para comenzar a darle caña al caso multivariable, requeremos la definición de intervalo como producto de cerrados:

(Definición, Intervalo) En $\mathbb{R}^n$, definimos un intervalo como el producto cartesiano de $n$ respectivos intervalos cerrados compactos: $I = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \dotsb \times [a_n, b_n] = \prod_{1\leq i \leq n} [a_i , b_i]$. A su vez, la medida del intervalo, denotada por $\mu (I)$; se definirá como el producto de las longitudes de los intervalos cerrados que lo conforman: $\mu (I) := \prod_{i} (b_i - a_i)$.

Evidentemente este concepto vendrá camuflado e interpretado según el contexto: En $\mathbb{R}$, el $I$ descrito toma la forma de intervalo; en $\mathbb{R}^2$ de un rectángulo; en $\mathbb{R}^3$ un cubo, etc. 

Además, el concepto de integración sobre una región $\Omega$ que no se expresa como un intervalo se puede referir a la integración sobre un intervalo amplificado $I$. Si $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es la función integrando, se tiene que integrar $f$ respecto a la región $\Omega$ es equivalente a integrar:

$$\{f|_\Omega , 0|_{I-\Omega} \}|_I (\mathbf{x}) := \begin{cases} f(\mathbf{x}) & , \text{ si } \mathbf{x}\in \Omega \\ 0 & , \text{ si } \mathbf{x} \in I-\Omega \end{cases}$$

, en un intervalo $I$ en $\mathbb{R}^n$ que contenga a $\Omega$. Entraremos más en detalle cuando tengamos las herramientas. Para poder seguir con el juego de Darboux sobre el concepto de integrabilidad de funciones, hace falta ampliar la noción de partición a varias variables:

(Definición, partición) Dado un intervalo compacto $I=\prod_{1\leq i \leq n} [a_i, b_i]$, se define una partición $P$ de $I$ como una colección no vacía y finita de intervalos $\{I_i \}\subseteq \mathbb{R}^n$ tales que: $$I= \bigcup_{j\in I} I_j \quad \wedge \quad \mathrm{Int}(I_i) \cap \mathrm{Int}(I_j) = \varnothing \ , \forall i,j \in I : i\neq j$$ Además, una partición $P'$ se dice más fina que $P$ otra partición, si todo intervalo en $P'$ está contenido en exactamente un intervalo de $P$ (Se denota por $P'\subseteq P$).

En particular, siendo $P=\{I_i \}_{i=1} ^r$ una partición de un intervalo $I\in\mathbb{R}^n$ cualquiera, se verifica: $\mu (I) = \sum_{1\leq i\leq r} \mu (I_i)$. Fijando dicha partición, los valores ínfimo y supremo para una función $f:I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ acotada se toman de la misma forma que en una variable: $m_i = \inf_{\mathbf{x}\in I_i} f(\mathbf{x}), M_i = \sup_{\mathbf{x}\in I_i} f(\mathbf{x})$. El cambio viene cuando intervienen las sumas inferiores y superiores, pues ellas se definen generalmente a partir de la medida recién definida:

$$L(f,P) := \sum_{1\leq i \leq r} m_i \mu (I_i) \quad ; \quad U(f,P) := \sum_{1\leq j \leq r} M_j \mu (I_j)$$

Ya que $f$ es supuesta acotada en $I$: $m\leq f(\mathbf{x}) \leq M, \forall \mathbf{x}\in I$; para determinados $m,M \in \mathbb{R}$. Por tanto: $$m\mu (I) = m\sum_{1\leq i \leq r} \mu(I_i) \leq L(f,P) \leq U(f,P) \leq M\sum_{1\leq i \leq r} \mu(I_i) = M\mu(I)$$

Queda justificada así la existencia de integrales múltiples superiores e inferiores: $$\small \idotsint \limits_{\quad \quad \quad \ I}^{\text{ ________}} f := \inf \{ U(f,P) : P \text{ part. de } I \} \quad \idotsint \limits_{\text{ _______} \ I} f := \sup \{ L(f,P) : P \text{ part. de } I \}$$

Diremos entonces que una función acotada $f: I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es Riemann (o Darboux) integrable si, y solo si ambas integrales superior e inferior coinciden. A dicho valor se le da el nombre de integral, y se denota por:

$$\idotsint_I f$$

En el desarrollo teórico, se suele omitir hacer match del número de integrales de la notación según la dimensión trabajada. En otras palabras, si tú sabes que $I\subseteq \mathbb{R}^3$, se presupone la notación:

$$\iiint_I f := \int_I f$$

(la misma connotación para integrales superiores e inferiores).

Siendo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ integrable Riemann, las sumas superiores e inferiores en $P$ se deben acercan al valor del volumen engendrado por la superficie $z=f(x,y)$ a medida que $\mu (P) \to 0$.

Evidentemente se conserva el hecho de que no toda función acotada en un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}^n$ es Riemann integrable. Podemos usar la función característica de $\mathbb{Q}\times \mathbb{R}$ en $I\subseteq \mathbb{R}^2$ para mostrarlo: $$\chi_{\mathbb{Q}\times \mathbb{R}} |_I (x,y) = \begin{cases} 1 & , (x,y)\in (\mathbb{Q} \times \mathbb{R}) \cap I \\ 0 & , (x,y) \in ((\mathbb{R}-\mathbb{Q}) \times \mathbb{R}) \cap I \end{cases}$$ En particular se trata de una función acotada en cualquier intervalo $I$ no vacío verificando: $m_i = 0, M_i = 1$ sobre cualesquiera de los intervalos $I_i$ de una partición $P$ genérica de $I$ (Esto es porque $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ son densos en $\mathbb{R}$). Así: $L(\chi_{\mathbb{Q}\times \mathbb{R}} |_I,P) = 0 \neq \mu (I) = U(\chi_{\mathbb{Q}\times \mathbb{R}} |_I,P)$ para toda partición $P$ de $I$. Por tanto $\chi_{\mathbb{Q}\times \mathbb{R}} |_I$ no es Riemann integrable. A la hora de trabajar demostraciones generales, entramos con una caracterización útil del concepto de integrabilidad Riemann:

(Caracterización; integrabilidad Riemann) Sea $f:I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función acotada. Entonces $f$ es integrable Riemann si, y solo si: $\forall \varepsilon>0, \exists P$ partición de $I$ tal que: $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$.

Demostración: 

$"\Rightarrow "$ Partimos de la integrabilidad Riemann de $f$, y por tanto: $$\inf \{ U(f,P): P \text{ part. de } I \} = \sup \{ L(f,P): P \text{ part. de } I \}$$ Ergo, para todo $\varepsilon>0$ fijo, encontramos particiones $P_1, P_2$ de $I$ tales que: $U(f,P_1) < \int_I f + \varepsilon/2$ y $L(f,P_2) > \int_I f - \varepsilon/2$, tomando $P=P_1 \cup P_2$ partición más fina, se consigue: $U(f,P)<U(f,P_1) \, \wedge \, L(f,P)>L(f,P_2)$. Así: $$U(f,P)-L(f,P)< U(f,P_1) - L(f,P_2) < \int_I f + \varepsilon/2 - \int_I f + \varepsilon/2 = \varepsilon$$ $"\Leftarrow"$ Si para cada $\varepsilon>0$ tomado, existe partición $P$ tal que $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$; teniendo en cuenta que el ínfimo de sumas superiores es menor que la suma superior de $f$ sobre cualquier partición, y el supremo respectivamente mayor; se deduce: $$\int \limits_{\quad \quad \quad \ I}^{\text{__}} f - \int \limits_{\text{__} \ I} f \leq U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$$ Ya que la desigualdad primera es válida para toda partición $P$ de $I$ y un $\varepsilon >0$ induce una partición $P$ verificando la desigualdad segunda, necesariamente:  $$\int \limits_{\quad \quad \quad \ I}^{\text{__} }f - \int \limits_{\text{ __ } \ \ I} f < \varepsilon ,\forall \varepsilon >0 \Longrightarrow \int \limits_{\ I}^{\text{__} }f  = \int \limits_{\text{ __ } \ \ I} f$$

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Al igual que en una variable:

(Teorema) Toda función continua en un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}^m$ es $R$-integrable en el mismo.

Demostración: Sea $\varepsilon>0$, buscamos $P$ partición tal que $U(f,P)- L(f,P)<\varepsilon$. En particular, para una partición genérica $P:= \{I_j \}_{1\leq j \leq n}$, ya que $f$ es continua en cada uno de los $I_j$ compactos, existen $x_j ^{(1)}, x_j ^{(2)} \in I_j$ tales que $\inf_{\mathbf{x} \in I_j} f(\mathbf{x}) =  f(x_j ^{(1)})$, $\sup_{\mathbf{x}\in I_j} f(\mathbf{x}) = f(x_j ^{(2)})$. Así: $$U(f,P) - L(f,P) = \sum_{1\leq j \leq n} (M_j - m_j) \mu (I_j) = \sum_{1 \leq j \leq n} (f(x_j ^{(2)}) - f(x_j ^{(1)})) \mu (I_j)$$ La continuidad en $f$ permite encontrar $\delta_j >0$ tales que $\| \mathbf{x} - x^{(i)} _j \| < \delta_j$ implica $|f(\mathbf{x}) - f(x_j ^{(i)})| < \varepsilon/2\mu(I)$ para cada $j\in \{1,...,n \}, i\in \{1,2 \}$. Haciendo uso de la desigualdad triangular, siendo $\delta = \min_{1\leq j \leq m} \delta_j$; podemos formar $P$ mediante particiones uniformes de $I$ cuyas diagonales sean menor que $\delta$ (ello sirve para asegurar que la distancia entre cualesquiera dos puntos de $I_j$ sea inferior a $\delta \leq \delta_j, \forall j\in \{1,...,n\}$) Se deduce así: $U(f,P) - L(f,P) \leq \displaystyle \sum_{j} \frac{\varepsilon}{\mu (I)} \mu (I_j) = \varepsilon$. Se concluye la prueba.

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(Propiedades de la integral de Riemann) Sean $f,g: I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funciones integrable Riemann. Entonces:

1. $\displaystyle \int_I \alpha f + \beta g = \alpha \int_I f + \beta \int_I g \quad , \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
2. $fg$ es integrable Riemann.
3. Si existe $K>0: 1/g >K$ en $I$, entonces $f/g$ es $R$-integrable.
4. Si $f\leq g$ en $I$, entonces $\displaystyle \int_I f \leq \int_I g$.
5. $|f|$ es integrable Riemann tal que: $\displaystyle \left | \int_I f \right | \leq \int_I |f|$.

Demostración: Para verificar la propiedad de linealidad, verifiquémosla sobre la suma y el producto por escalar positivo. En general: 

$$L(f+g, P) \leq  \int \limits_{\text{ __ } \ \ I} f \leq  \int \limits_{ \ I}^{\text{__} }f  \leq U(f+g,P)$$

, para toda $P$ partición de $I$. En particular: $\inf (f+g) \geq \inf(f) + \inf(g)$ y $\sup (f+g) \leq \sup (f) + \sup (g)$. Ergo: $L(f+g,P) \geq L(f,P)+L(g,P)$ y $U(f+g,P)\leq U(f,P) + U(g,P)$. Sea $\varepsilon>0$. La supuesta integrabilidad de $f,g$ permite, a partir de la noción de integral como ínfimo de sumas superiores y supremo de sumas inferiores; encontrar $P_{11}$ partición de $I$ tal que: $L(f,P_{11}) \geq \int_I f - \varepsilon/2$; y $P_{12}$ partición tal que $L(g,P_{12}) \geq \int_I g - \varepsilon/2$. Tomando $P_1 = P_{11} \cup P_{12}$, se verifica simultáneamente: $$L(f,P_1) + L(g,P_2) \geq \int_I f + \int_I g - \varepsilon$$ . Análogamente, se encuentra $P_2$ partición tal que $U(f,P_2) + U(g,P_2) \leq \int_I f + \int_I g + \varepsilon$. Así: 

$$\int_I f + \int_I g - \varepsilon \leq  \int \limits_{\text{ __ } \ \ I} f \leq  \int \limits_{ \ I}^{\text{__} }f  \leq \int_I f + \int_I g + \varepsilon$$

Ya que $\varepsilon>0$ es arbitrariamente chico, se deduce la igualdad de las integrales superior e inferior, y además: $\int_I f+g = \int_I f + \int_I g$. Respecto al producto por escalar positivo, ya que $\sup (\alpha f)= \alpha \sup (f)$ y $\inf (\alpha f) = \alpha \inf (f)$, para todo $\alpha >0$; se tiene: $U(\alpha f, P) = \alpha U(f,P)$ y lo mismo para la suma inferior en una partición cualquiera. Basta con encontrar, dada la integrabilidad de $f$ en $I$; $P_1$ partición de $I$ tal que $L(f,P_1) \geq \int_I f - \frac{\varepsilon}{\alpha}$ y $P_2$ partición tal que: $U(f,P_2) \leq \int_I f + \frac{\varepsilon}{\alpha}$. Así: 

$$\displaystyle \alpha \int_I f - \varepsilon \leq  \int \limits_{\text{ __ } \ \ I} f \leq  \int \limits_{ \ I}^{\text{__} }f  \leq \alpha \int_I f + \varepsilon$$

De nuevo, la arbitrariedad de $\varepsilon>0$ asegura: $\exists \int_I \alpha f = \alpha \int_I f$. Para terminar de justificar la propiedad $(a)$, basta con probar la tesis para $\alpha = -1.$ Se reduce a tener en cuenta: $\sup (-f) = - \inf (f)$ y jugar de la misma forma. Respecto a $(b)$, probar que $fg$ es $R-$integrable es equivalente a ver que $(f(\mathbf{x}))^2$ es $R$-integrable, pues podemos escribir: $$f(\mathbf{x})\cdot g(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} (((f+g)(\mathbf{x}))^2 - (f(\mathbf{x}))^2 -(g(\mathbf{x}))^2)$$ Sea $\varepsilon >0$ arbitrario y $P$ una partición de $I$, se tiene: $$U(f\cdot f, P) - L(f\cdot f ,P) = \sum_{I_i \in P} \left( \sup_{\textbf{x} \in I_i} (f(\mathbf{x}))^2 - \inf_{\mathbf{x} \in I_i} (g(\mathbf{x}))^2 \right ) \mu (I_i)$$ En particular, para cualesquiera $\mathbf{a,b} \in I_i$: $$(f(\mathbf{a}))^2 - (f(\mathbf{b}))^2 = (f(\mathbf{a}) - f(\mathbf{b})) (f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})) \leq 2K (f(\mathbf{a})- f(\mathbf{b}))$$ , siendo $K>0$ tal que $|f(\mathbf{x})| \leq K, \forall \mathbf{x}\in I$ (toda función Riemann integrable debe estar acotada por definición). La noción de ínfimo y supremo permite establecer además: $$(f(\mathbf{a}))^2 - (f(\mathbf{b}))^2 \leq 2K \left( \sup_{\textbf{a} \in I_i} (f(\mathbf{a})) - \inf_{\mathbf{b} \in I_i} g(\mathbf{b}) \right ) \quad , \forall \mathbf{a}, \mathbf{b}\in I_i$$ Al tomar supremo e ínfimo respecto a las variables independientes $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, respectivamente, se deduce: $\sup f\cdot f - \inf f\cdot f \leq 2K (\sup f - \inf f)$. Reduciendo los intervalos de $P$ lo suficiente como para conseguir $M_i - m_i < \varepsilon /2K\mu(I), \forall I_i \in P$ (se logra ya que $f$ es acotada), se tiene: $$U(f\cdot f, P) - L(f\cdot f, P) \leq 2K \sum_{I_i \in P} (M_i - m_i) \mu(I_i) < 2K\mu(I) \frac{\varepsilon}{2K\mu(I)} = \varepsilon$$ Verificar la propiedad $(c)$ es inmediato pues $f/g$ es producto de funciones acotadas e integrables (la conservación de signo de $g$ en $I$ permite maniobrar fácilmente las propiedades de supremo e ínfimo. Ya que $g(\mathbf{x}) \neq 0$ en $I$, el procedimiento de tomar $P$ conveniente es exactamente el mismo) La propiedad $(d)$ es inmediata de la linealidad ya justificada. En efecto: $\int_I f \leq \int_I g \Longleftrightarrow \int_I (g-f) \geq 0$. Ello es cierto pues $\inf (g-f, P) \geq 0$ cuando $g\geq f$. Teniendo en cuenta que $\int_I (g-f) \geq L(g-f,P)$ para cualquier partición dada, se sigue la positividad buscada. Para terminar, verificar que $|f|$ es integrable siendo $f$ integrable es sencillo. Para toda partición $P$ de $I$ se verifica: $$\sup_{I_j \in P} |f| - \inf_{I_j \in P} |f| \leq \sup_{I_j \in P} f - \inf_{I_j \in P} f$$ Esto es cierto pues $\sup |f| \in \{ \sup f, -\inf f \}$. Así, si $\sup |f| = \sup f$, la desigualdad sigue de forma inmediata; y si $\sup |f| = -\inf f$ trivialmente $\sup f + \inf |f| \geq 0$. Por tanto, para todo $\varepsilon>0$, ya que $f$ es integrable Riemann: encontramos $P$ partición tal que $U(f,P)- L(f,P) < \varepsilon$. La desigualdad recién justificada indica: $$U(|f|,P) - L(|f|,P) \leq U(f,P) -L(f,P) < \varepsilon$$ Queda garantizada la integrabilidad de $|f|$. Además: $-|f| \leq f \leq |f|$ y en consecuencia: $$-\int_I |f| \leq \int_I f \leq \int_I |f| \Longrightarrow \left | \int_I f \right | \leq \int_I |f|$$

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Contenido y medida nula

Trabajamos ahora dos conceptos cruciales en la integración Riemann. Estos nos facilitarán caracterizaciones de integrabilidad mucho más manejables. Se define:

(Definición, Contenido nulo) Dado $A\subseteq \mathbb{R}^n$, se dice que tiene contenido nulo si, y solo si: $\forall \varepsilon>0$, existe un recubrimiento finito $\{I_j \}_{j\in J}$ (en particular: $A\subseteq  \bigcup_{j\in J} I_j$) de intervalos compactos tales que $\sum_{j\in J} \mu (I_j) < \varepsilon$.

Algunas propiedades de conjuntos de contenido nulo son las siguientes:

(Propiedades, contenido nulo) Sean $A,B \subseteq \mathbb{R}^n$. Se tiene:

1. Si $A\subseteq B$ y $B$ tiene contenido nulo, entonces $A$ también tiene contenido nulo.
2. La unión finita de compactos con contenido nulo, tiene contenido nulo.
3. Cualquier intervalo no vacío en $\mathbb{R}$ no tiene contenido nulo.
4. La clausura de un conjunto de contenido nulo tiene de nuevo contenido nulo.
5. Si $A=B \times \{ c \}$ (Intervalo degenerado) para algún $c\in \mathbb{R}$, entonces $A$ tiene contenido nulo.
6. Si $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es el grafo de una función integrable $f:\mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$, entonces $A$ tiene contenido nulo.

Por ejemplo, el subconjunto $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ es numerable pero no tiene contenido nulo, pues de tenerlo: $\mathrm{Cl}(\mathbb{Q} \cap [0,1])= [0,1]$ el cual no tiene contenido nulo, pues cualquier recubrimiento $\{I_j \}_{j\in J}$ del conjunto implicaría $\sum_{j\in J} \mu (I_j) \geq 1$. Al mismo tiempo, los términos de la sucesión $\left \{ \frac{1}{n} \right \}$ si que conforman un subconjunto con contenido nulo, pues fijado $\varepsilon>0$ arbitrario, se consigue que $[0 , \varepsilon/2 ]$ contiene infinitos puntos de la sucesión; mientras que permanece una cantidad finita de ellos afuera del intervalo. Basta entonces con adherir los compactos $I_j = [1/j - \frac{\delta_j}{2}, 1/j + \frac{\delta_j}{2} ]$ tales que $\sum_{j\leq 4/\varepsilon} \delta_j < \varepsilon/2$, consiguiendo un recubrimiento total de longitud menor a $\varepsilon$. En general, el conjunto conformado por los puntos de cualquier sucesión convergente en $\mathbb{R}^n$ tiene contenido nulo. Que empiece la fiesta:

(Teorema) Toda función acotada y continua en un conjunto a excepción de un conjunto de contenido nulo, es integrable Riemann en ese conjunto.

Demostración: Sea $\varepsilon>0$, existen entonces $\{I_j \}_{j\in J}$ formando un recubrimiento de $C$ con contenido nulo, tales que $\sum_{j\in J} \mu (I_j) < \frac{\varepsilon}{M 2^{n+2}}$, siendo $M>0$ una cota superior de $f$. Consideramos ahora $\{ I_j ' \}_{j\in J}$ intervalos amplificados de manera que los lados de $I_j '$ duplican a los de $I_j$, para cada $j\in J$. Así: $$C\subseteq \bigcup_{j\in J} I_k ' \quad \text{tales que } \sum_{j\in J} \mu (I_j ') < \frac{\varepsilon}{4M}$$ Esta elección de amplificar los intervalos evita la presencia de discontinuidades aisladas de $f$ en los bordes de $\tilde{I}_j$ definido como, siendo $I_j := \prod_{1\leq i \leq n} [a_{ji}, b_{ji}]$; el conjunto: $$\tilde{I}_j := \{ \mathbf{x}\in I : \mathrm{proy}_i (\mathbf{x}) \in [a_{ij}, b_{ij}] , \ \text{para algún } 1\leq i \leq n \}$$

Visualización de esta parte de la prueba

Definimos ahora las colecciones $J_1 ,..., J_n$ de intervalos contenidos en algún $I_j '$; y $K_1, ..., K_n$ los que no intersecan con ninguno de los $I_j '$. Finalizamos la prueba tomando la partición engendrada por cada uno de los intervalos: $P:= P_J \cup P_{K_1} \cup \dotsb \cup P_{K_n}$. Se consigue: $$U(f,P)-L(f,P) = U(f,P_J) - L(f,P_J) + \sum_{1\leq j \leq k} U(f,P_{K_j}) - L(f,P_{K_j})$$ Respecto a la primera diferencia, se tiene que: $$U(f,P_J) - L(f,P_J) = \sum_{1\leq j\leq n} (M_j - m_j) \mu (I_j)\leq 2M \sum_{1\leq j \leq n} \mu (I_j) < 2M \frac{\varepsilon}{4M} = \varepsilon/2$$ . Respecto a la segunda colección de diferencias, la continuidad de $f$ en cada uno de los $K_j$ permite refinar las particiones lo suficiente como para conseguir achicar la diferencia entre supremo e ínfimo por $\frac{\varepsilon}{2\mu (\bigcup_j P_{k_j})}$ en cada uno de los intervalos. Conseguimos así: $U(f,P)- L(f,P) < \varepsilon$, concluyendo así la prueba.

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Definimos ahora la medida nula como un caso ampliado del contenido nulo:

(Definición, Medida nula) Dado $A\subseteq \mathbb{R}^n$, se dice que tiene medida nula si, y solo si: $\forall \varepsilon>0$, existe un recubrimiento numerable $\{I_j \}_{j\in J}$ (en particular: $A\subseteq  \bigcup_{j\in J} I_j$) de intervalos compactos tales que $\sum_{j\in J} \mu (I_j) < \varepsilon$.

Muchas de las propiedades del contenido nulo se heredan para la medida nula. En particular, la siguiente proposición resume las propiedades de la medida nula:

(Propiedades, medida nula) Se verifica:

1. Si $A\subseteq B$ y $B$ tiene medida nula, entonces $A$ tiene medida nula.
2. Todo conjunto numerable tiene medida nula.
3. La unión numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula.
4. Todo conjunto de contenido nulo tiene medida nula.
5. Todo compacto con medida nula tiene contenido nulo.

Demostración: Los apartados i. y iv. son inmediatos de la definición. Para justificar ii., suponemos $C=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x_n \}$. Siendo $\varepsilon>0$ arbitrario, basta con considerar el recubrimiento numerable de compactos: $\{I_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ definidos como \newline $I_n := [x_n - 1/2^{n+2} \varepsilon , x_n + 1/2^{n+2} \varepsilon]$ tal que $\sum_{n\in \mathbb{N}} \mu (I_n) < \varepsilon$ (desarrollo de la serie geométrica). Para justificar iii. podemos trabajar similarmente: Sea $C= \bigcup_{n\in \mathbb{N}} C_n$ y $\varepsilon>0$, con $\{C_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ conjuntos de medida nula. En particular, denotamos $C_n = \bigcup_{j\in \mathbb{N}} \{x_{jn} \}$ y tenemos por hipótesis la existencia de $\{I_{nj} \}_{j\in \mathbb{N}}$ recubrimientos de $C_n$ tales que $\sum \mu (I_{nj}) < 1/2^{n+1} \varepsilon$. Así: $$C \subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \bigcup_{j\in \mathbb{N}} I_{nj} \quad \text{ , tales que } \sum_{n\in \mathbb{N}} \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu (I_{nj}) < \varepsilon$$ Luego podemos tomar $\{I_{nj} \}_{n,j \in \mathbb{N}}$ como recubrimiento. Para justificar v., podemos tener en cuenta que las definiciones de contenido y medida nulas son equivalentes a trabajarlas con abiertos. Así, ya que en un compacto todo recubrimiento por abiertos, admite un subrecubrimiento finito, se deduce la numerabilidad del recubrimiento final, y la cota para la suma de las longitudes sigue siendo igual de manejable.

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Estamos listos para dar la caracterización: fantasía de integrabilidad Riemann:

(Th. Lebesgue sobre la integrabilidad Riemann) Sea $I$ intervalo compacto y $f:I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ acotada. Entonces $f$ es Riemann integrable si, y solo si: su conjunto de discontinuidades tiene medida nula.

Demostración: $("\Leftarrow ")$ Sea $\varepsilon>0$, definimos $D= \{ \mathbf{x}\in I: f \text{ es discontinua en } \mathbf{x} \}$, de forma que nuestra hipótesis es que $D$ tiene medida nula. Por tanto, siendo $M$ cota superior de $f$ en $I$: $\exists \{ I_j \}_{j\in \mathbb{N}}$ recubrimiento por abiertos de $D$ tal que $\sum_{j\in \mathbb{N}} \mu (I_j) < \frac{\varepsilon}{4M}$. La continuidad de $f$ en $I\setminus D$ permite encontrar $I_\mathbf{x}$ abiertos conteniendo a $\mathbf{x}\in I\setminus D$ tales que $\underset{\mathbf{y}\in I_\mathbf{x}}{\mathrm{osc}} f(\mathbf{y}) = \sup_{\mathbf{y} \in I_\mathbf{x}}  f(\mathbf{y}) - \inf_{\mathbf{y} \in I_\mathbf{x}}  f(\mathbf{y}) < \frac{\varepsilon}{2\mu (I)}$. Así, conseguimos recubrir a $I$: $$I\subseteq \left ( \bigcup_{j\in \mathbb{N}} I_j \right ) \cup \left ( \bigcup_{\mathbf{x} \in I\setminus D} I_\mathbf{x} \right )$$ Ya que $I$ es compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito de $I$, pongamos $R=\{I_1, ..., I_n, I_{\mathbf{x}_1}, ..., I_{\mathbf{x}_m} \}$ como tal. Si formamos la partición $P$ ampliando cada uno de estos abiertos de $R$ a intervalos compactos, se consigue: $$\begin{eqnarray} U(f,P)- L(f,P) & = & \sum_{1\leq i \leq n} \underset{\mathbf{x} \in I_i}{\mathrm{osc}} f(\mathbf{x}) \mu (I_i) + \sum_{1\leq j \leq m} \underset{\mathbf{x} \in I_{\mathbf{x}_j}}{\mathrm{osc}} f(\mathbf{x}) \mu (I_{\mathbf{x}_j}) \leq \nonumber \\ & \leq & 2M \sum_{1\leq i \leq n} \mu (I_i) + \frac{\varepsilon}{2\mu (I)} \sum_{1\leq j \leq m} \mu (I_{\mathbf{x}_j}) < \nonumber \\ & < & 2M \frac{\varepsilon}{4M} + \frac{\varepsilon}{2\mu (I)} \mu (I) = \varepsilon \nonumber \end{eqnarray}$$   $("\Rightarrow ")$ Sea $\mathbf{x} \in I$, se justifica fácilmente: $$\omega (f, \mathbf{x}) = \lim_{\rho \to 0} \ \underset{\mathbf{y}\in B(\mathbf{x}, \rho)}{\mathrm{osc}} f(\mathbf{y}) = 0 \Longleftrightarrow f \text{ es continua en } \mathbf{x}$$ Por lo tanto, podemos caracterizar al conjunto de discontinuidades de $f$ como aquellos puntos donde el límite previo no sea nulo (en particular positivo). Se tiene además: $$\{ \mathbf{x}\in I: \omega (f,\mathbf{x}) >0 \} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}} \left \{ \mathbf{x} \in I : \omega (f,\mathbf{x}) \geq \frac{1}{n} \right \}$$ Ya que cada uno de los conjuntos integrados en la unión es cerrado y acotado, y por tanto compacto; nos basta con ver que cada uno de ellos tiene contenido nulo, para así asegurar el contenido nulo del conjunto de discontinuidades por ser unión numerable. Sea $\varepsilon>0$ y $n\in \mathbb{N}$ fijo, ya que $f$ es integrable Riemann existe $P$ partición de $I$ tal que $U(f,P)-L(f,P) < \frac{\varepsilon}{2n}$. Siendo $\{ I_j \}_j$ los intervalos de la partición $P$ que contienen en su interior al menos un punto en el conjunto estudiado: $P_n := \{I_j \in P: \omega (f,\mathbf{x}) \geq 1/n \text{ para algunos } \mathbf{x}\in \mathrm{Int}(I_j)\}$, se verifica: $$\frac{\varepsilon}{2n} > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{I_j \in P_n} \underset{\mathbf{x}\in I_j}{\mathrm{osc}} f(\mathbf{x}) \mu (I_j) \geq \frac{1}{n} \sum_{I_j \in P_n} \mu (I_j) \Longrightarrow \sum_{I_j \in P_n} \mu (I_j) < \frac{\varepsilon}{2}$$ Finalmente, los puntos que caigan sobre los bordes de los intervalos en la partición $P$ son conformes en un conjunto con contenido nulo (unión de intervalos degenerados). Luego, podemos encontrar $P'= \{I_j ' \}_j$ subrecubrimiento finito de ellos con $\sum_{j\in \mathbb{N}} \mu (I_j ') < \frac{\varepsilon}{2}$. Así, bastaría con tomar la colección de los $I_j \in P_n$ (finitos) y los $I_j '$ para generar el recubrimiento y verificar $\sum \mu (I_j) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$.

$\square$

(Definición, Conjunto medible Jordan, Integrabilidad Jordan) Sea $C\subseteq \mathbb{R}^n$ no vacío y acotado. Diremos que es medible Jordan si, y solo si: existe la integral:

$$\int_I \chi_C |_I$$

, para algún $I$ conteniendo a $C$ (en principio intervalo). Diremos también que una función $f$ es integrable en un medible Jordan $C$ si, y solo si: $f\cdot \chi_C |_I$ lo es sobre un $I$ conteniendo a $C$. En ese caso:

$$\int_C f := \int_I \chi_C |_I \cdot f$$

Como consecuencia de la caracterización de Lebuesgue, podemos particularizar al caso de la función característica. Si $C\subseteq \mathbb{R}^n$ es acotado y no vacío, entonces $\chi_{C} |_I$ es integrable en $I\supseteq C$ sii su conjunto de discontinuidades en $I$ es de medida nula. Dichas discontinuidades, dada la definición de la función característica, ocurren de manera segura en la frontera del conjunto $C$. Dicha frontera es cerrada y acotada, por tanto compacta en $\mathbb{R}^n$. Ya que para compactos, la medida nula y el contenido nulo son equivalentes, caracterizamos:

$$C\subseteq \mathbb{R}^n \text{ no vacío y acotado, es M.Jordan} \Longleftrightarrow \mathrm{Fr}(C) \text{ tiene contenido nulo}$$

Técnicas de integración múltiple

Comenzamos a indagar sobre novedades específicas en el caso de integración múltiple. Recordamos la aditividad en una partición genérica:

(Aditividad) Sea $I=\{I_i \}_{1\leq i \leq n}$ una partición de $I$. Entonces $f$ es $R$-integrable en $I$ si, y solo si; lo es en cada uno de los $I_i, \forall i$. En particular: $$\int_I f = \sum_{1\leq i \leq n} \int_{I_i} f$$

Antes de darle duro con Fubini el cambio de variables, puede ser interesante introducir el concepto de conjunto medible Jordan:

Vamos con la joyita maestra:

(Th. Fubini) Sea $I\subseteq \mathbb{R}^n$ un intervalo compacto, con $I=P\times Q \in (\mathbb{R}^r, \mathbb{R}^{n-r})$. Si $f$ es Riemann integrable en $I$, entonces: $$\int_{P\times Q} f = \int_P \left ( \int \limits_{\quad \text{ __ } \ \ Q} f (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} \right ) \mathrm{d}\mathbf{x} = \int_{P} \left ( \int \limits_{ \ Q}^{\text{__} }f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} \right ) \mathrm{d}\mathbf{x}$$

Demostración: Probaremos la primera igualdad. Sea $P_P$ una partición de $P$ y $P_Q$ una de $Q$. Entonces $P=P_P \times P_Q$ es partición de $P\times Q$ tales que sus intervalos son de la forma $I_P \times I_Q : I_P \in P_P \wedge I_Q \in P_Q$. Se tiene: $$\begin{equation} L(f,P) = \sum_{\substack{I_P \in P_P \\ I_Q \in P_Q}} \inf_{I_P \times I_Q} (f) \cdot \mu (I_P \times I_Q) = \sum_{I_P \in P_P} \left ( \sum_{I_Q \in P_Q} \inf_{I_P \times I_Q} (f) \cdot \mu (I_Q) \right ) \mu (I_P) \end{equation}$$ Siendo $\textbf{x}\in I_P \in P_P$ fijo, definimos la función auxiliar $g_\mathbf{x}: I_Q \subseteq P_Q \to \mathbb{R}$ como: $g_{\mathbf{x}}(\textbf{y})= f(\textbf{x},\textbf{y}) := f(x_1, ..., x_r, y_1, ..., y_{n-r})$. Ello nos interesa para manejar suma inferior con el ínfimo. En particular, se tiene: $\inf_{I_P \times I_Q} f \leq \inf_{I_Q} g_{\mathbf{x}}$ y por tanto: 

$$\small \sum_{I_Q \in P_Q} \inf_{I_P \times I_Q} (f) \cdot \mu (I_Q) \leq \sum_{I_Q \in P_Q} \inf_{I_Q} (g_\mathbf{x}) \cdot \mu (I_Q) \leq  \int \limits_{\text{ __ } \ \ Q} g_{\mathbf{x}} (\mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} = \int \limits_{\text{ __ } \ \ Q} f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} = B(\mathbf{x})$$

La generalidad de $\mathbf{x}\in I_P$ permite enunciar: $$L(f,P) = \sum_{I_P \in P_P} \left ( \sum_{I_Q \in P_Q} \inf_{I_P \times I_Q} (f) \cdot \mu (I_Q) \right ) \mu (I_P) \leq L(B, P_P)$$ Procediendo de manera análoga con supremos en integral superior, se obtiene la desigualdad $U(f,P) \geq U(T,P_P)$, siendo $T(\mathbf{x})$ la integral superior definida en $Q$ fijando las variables $\mathbf{x} = (x_1,..., x_r)$. Finalmente: $$L(f,P)\leq L(B,P_P) \leq U(B,P_P) \leq U(T,P_P) \leq U(f,P)$$ , y ya que $f$ es integrable Riemann, se infiere: $$\sup \{ L(B,P_P) : P_P \text{ part. de } P \} = \inf \{ U(B,P_P): P_P \text{ part. de } P \} = \int_{P\times Q} f$$ Esto es: $B$ es función integrable en $P$ tal que $\int_P B = \int_{P\times Q} f$, que es exactamente la primera igualdad que establece el teorema. Análogamente se prueba $\int_{P} T = \int_{P\times Q} f$.

$\square$

De la misma forma, bajo las mismas hipótesis del teorema:  $$\int_{P\times Q} f = \int_Q \left ( \int \limits_{\quad \text{ __ } \ \ P} f (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} \right ) \mathrm{d}\mathbf{x} = \int_{Q} \left ( \int \limits_{ \ P}^{\text{__} }f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y} \right ) \mathrm{d}\mathbf{x}$$  Ello induce a los míticos ejercicios del cambio de orden de integración. De ahí la relevancia de este teorema, pues a parte de introducir un mecanismo de cálculo genérico de integrales; afirma la posibilidad de permutación en el orden. Ello será necesario cuando no sepamos encontrar primitiva a una función $f$ respecto a alguna de sus variables. Cabe resaltar que si $f$ es suficientemente "suave" sobre el dominio trabajado, la función $g_\mathbf{x}$ definida previamente es integrable en $Q$. Bajo dichas condiciones, si $I=\prod_{1\leq i \leq n} [a_i, b_i]$, Fubini se aplica para afirmar:

$$\int_I f \mathrm{d}A = \int_{a_1} ^{b_1} \int_{a_2} ^{b_2} \dotsb \int_{a_n}^{b_n} f \mathrm{d}x_n \dotsb \mathrm{d}x_2 \mathrm{d}x_1$$

Fubini tiene su aplicación también en la integración sobre conjuntos más genéricos. Ello es posible gracias a la función característica de dicho conjunto sobre un intervalo que lo contenga. Por ejemplo, si queremos evaluar:

$$\iint_I f(x,y) \mathrm{d}A$$

(con $f$ continua, por ejemplo) sobre $I=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: |x|+|y|\leq 1 \}$; tener en cuenta que $I$ es un rombo centrado en el origen y vértices en los puntos del plano $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$. En particular, el intervalo $J=[-1,1] \times [-1,1]$ contiene a $I$, y la función característica trabajada es:

$$\chi_{I} |_J (x,y):= \begin{cases} 1 & , \text{ si } (x,y)\in J \text{ es tal que } -1-x \leq y\leq 1+x \text{ , con } x<0 \\ 1 & , \text{ si } (x,y)\in J \text{ es tal que } -1+x \leq y \leq 1-x \text{ , con } x\geq 0 \\ 0 & , \text{ en otro caso} \end{cases}$$

Por tanto:

$$\begin{eqnarray} \iint_I f(x,y) \mathrm{d}A & = & \int_J f(x,y) \chi_{I} |_J (x,y) \mathrm{d}A = \nonumber \\ & = & \int_{-1} ^0 \int_{-1-x} ^{1+x} f(x,y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x + \int_0 ^1 \int_{x-1} ^{1-x} f(x,y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x \end{eqnarray}$$

Reescribiendo la función característica con desigualdades involucrando a $x$ en términos de $y$, se llega a la expresión equivalente:

$$\iint_I f(x,y) \mathrm{dA} = \int_{-1} ^0 \int_{-1-y} ^{y+1} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \int_0 ^1 \int_{y-1} ^{1-y} f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

En general, podemos proceder con el Teorema de Fubini sobre regiones acotadas por funciones integrables. En el caso de dos variables, si $\varphi, \psi: [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son integrable Riemann en su dominio y $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es una función continua en el interior de la región $R$ limitada por las funciones $\varphi, \psi$: entonces $f \chi_{R} |_I$ ($I$ es un intervalo compacto que contiene a $R$) es integrable, pues en el peor de los casos será discontinua en ambos grafos $G_\varphi, G_\psi$, los cuales tienen contenido nulo. Por Fubini además:  $$\iint_R f = \int_a ^b \int_{\varphi (x)} ^{\psi(x)} f \mathrm{d}y \mathrm{d}x \quad \text{si } \psi (x) \geq \varphi(x) \text{ en } [a,b]$$

Veamos ahora los cambios de variable:

(Th. Cambio de variable) Sea $U\subseteq \mathbb{R}^n$ abierto y $C\subseteq \mathbb{R}^n$ medible Jordan tal que $\mathrm{Cl}(C)\subseteq U$. Siendo $\varphi: U\to \mathbb{R}$ función inyectiva de clase $C^1$ en $U$ tal que $V = \{ \mathbf{x}\in U: \det J\varphi (\mathbf{x}) = \mathbf{0} \}\subseteq U$ tiene contenido nulo, entonces si $f$ es Riemann integrable en $\varphi (C)$ se tiene: $$\int_{\varphi (C)} f = \int_C (f\circ \varphi) |\det J\varphi|$$

Demostración: Este teorema se suele enunciar y probar tomando $C=U$ abierto. Podremos probar más adelante, a partir del Teorema de Green, este resultado mucho más brevemente. En caso de negarse la espera, se puede realizar siguiendo el siguiente esquema:

1. Probar que si se tiene un recubrimiento por abiertos $A=\{ A_i \}_{i\in I}$ de $U$, y: $$\int_{\varphi(A_i)} f = \int_{A_i} (f\circ \varphi) |\det J\varphi| \quad , \forall i \in I$$ ,  entonces el teorema es cierto en $A$.
2. Es suficiente probar el teorema para $f\equiv 1$.
3. Si dos funciones $g_1 : A\to \mathbb{R}^n, g_2 : B \to \mathbb{R}^n$ (con $g_1 (A) \subseteq B$), entonces $g_2 \circ g_1$ también.
4. Toda aplicación lineal verifica la tesis del teorema.
5. Terminar la demostración procediendo por inducción sobre la dimensión $n\in \mathbb{N}$.

Para el que le interese: la edición de Spivak en varias variables tiene esta demostración detallada paso a paso (A partir de la página 62).

El cambio más elemental y clásico de todos es el de coordenadas polares (dos variables): $\varphi (r, \theta) := (x,y) = (r\cos \theta, r\sin \theta)$. Esta es inyectiva en $[0,R]\times [0,2\pi]$ a excepción de un conjunto de contenido nulo ($[0,R]\times \{2\pi \}$ genera una pérdida de inyectividad, pero tiene contenido nulo por ser degenerado). Respecto al jacobiano de la transformación: $$J\varphi (r,\theta) := \begin{pmatrix} \cos \theta &  -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{pmatrix} \Longrightarrow |\det J\varphi (r,\theta)| = r$$ Así, si una función $f$ es Riemann integrable en un conjunto $D$ parametrizado polarmente por $(r,\theta) \in [r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]$, se tiene: $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}A = \int_{\theta_1} ^{\theta_2} \int_{r_1} ^{r_2} f(r\cos \theta, r\sin \theta) r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta$$

Integrales triples

El asunto de integrales triples se vuelve más admisible conociendo los teoremas recurridos en dos variables. En particular, nos fundamentamos del uso del Teorema de Fubini y sobre todo cambios de variable. El primero será usado cuando dispongamos, y sea factible; de las curvas que definen la región $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ a considerar. Ello ocurre por ejemplo a la hora de trabajar con regiones determinadas por planos. No obstante, es más frecuente el uso de dos cambios de variable míticos:

1. Cambio a coordenadas cilíndricas: Se considera la transformación: $$(x,y,z) := \varphi(r,\theta, z) = (r\cos \theta, r\sin \theta, z)$$ De nuevo, $\varphi$ es inyectiva en $[0,R]\times [0,2\pi] \times \mathbb{R}$ a excepción de un conjunto de medida nula. Luego, teniendo en cuenta que $\varphi$ es suave: este cambio de variable es considerable. El determinante de la matriz jacobiana coincide con el del cambio a polares que habíamos estudiado. Conviene considerar este cambio cuando la región trabajada sobre el plano $XY$ es conocida (en la mayoría de casos polarmente), y la altura del sólido integrado es claramente definida en $z$.
2. Cambio a coordenadas esféricas: Tomamos por referencia: $$(x,y,z):= \eta(r, \varphi, \theta) = (r\sin \varphi \cos \theta, r\sin \varphi \sin \theta , r\cos \varphi)$$  

   

   Me parece muy bonita la imagen como para bajarle las dimensiones :/

   
   , con $r>0, \theta \in [0,2\pi], \varphi \in [0,\pi]$. El jacobiano de la transformación es: $$J\eta := \begin{pmatrix} \sin \varphi \cos \theta & r\cos \varphi \cos \theta &  -r\sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r\cos \varphi \sin \theta & r\sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & -r\sin \varphi & 0 \end{pmatrix}$$ El determinante a considerar por el teorema del cambio de variable es: $$\begin{eqnarray} \det J \eta & := & 0 + r^2 \cos^2 \varphi  \cos^2 \theta \sin \varphi + r^2 \sin^3 \varphi \sin^2 \theta + \nonumber \\ & & + r^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi \sin \varphi + r^2 \sin^3 \varphi \cos^2 \theta +0 = \nonumber \\ & = & r^2 \sin \varphi (\cos^2 \varphi \cos^2 \theta + \sin^2 \varphi \sin^2 \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi \cos^2 \theta) = \nonumber \\ & = & r^2 \sin \varphi \nonumber \end{eqnarray}$$  Observar que el determinante es positivo pues $\varphi$ es acotado entre cero y $\pi$ radianes.

Ejercicios propuestos

1. Sea $I\subseteq \mathbb{R}^n$ un intervalo compacto. Probar que si $f:I \to \mathbb{R}$ es integrable Riemann y $g:f(I)\to \mathbb{R}$ es continua, entonces $g\circ f: I\to \mathbb{R}$ es integrable. ¿Ocurre lo mismo si se supone únicamente la integrabilidad de $f$ y $g$? Solución.
2. Sea $I\subseteq \mathbb{R}^n$ intervalo compacto y $f:I\to \mathbb{R}$ Riemann Integrable. Si $f(\mathbf{x}) \geq 0$ cuando $\mathbf{x}$ tiene alguna componente en $\mathbb{Q}$, probar que: $\int_I f \geq 0$. Solución.
3. Sean $f,g: I\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funciones integrables. Probar que si $\int_I |f-g| = 0$, entonces $f\equiv g$ en casi todo el intervalo compacto $I$. Más formalmente, el conjunto $D=\{ \mathbf{x}\in I: f(\mathbf{x})\neq g(\mathbf{x}) \}$ tiene medida nula. Estudiar si se verifica el recíproco. Solución.
4. Definimos $f:[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ como: $$f(x,y)= \begin{cases} 1 & , \, x=y \\ 0 & \, , x\neq y \end{cases}$$ Probar que $f$ es integrable Riemann en $[0,1]^2$. Determinar $\int_{[0,1]^2} f$. Solución.

Integración doble

1. Calcular: $$\iint_R (x+y)^2 \mathrm{d}A$$ , siendo $R$ la región limitada por la elipse: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$ (Asumir $a,b>0$). Solución.
2. Siendo $a>0$, calcular: $$\int_{0} ^a \int_{\sqrt{ax}} ^{a} \frac{y^2}{\sqrt{y^2 -a^2 x^2}} \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$  Solución.
3. Cambiar el orden de integración en $$\int_0 ^{2a} \int_{\sqrt{2ax - x^2}} ^{\sqrt{2ax}} \mathrm{d}y \mathrm{d}x \quad , \text{ con } a>0$$  Solución.
4. Encontrar el área limitada por encima de la circunferencia $x^2 +y^2 =4$ y contenida en $x^2 + (y-2)^2 =4$. Solución.
5. Determinar el volumen que engendra la superficie $z=xy$ sobre la región plana determinada por el triángulo de vértices $(1,1), (4,1), (1,2)$. Solución.
6. Determinar el volumen del sólido generado entre las superficies $z^2 = x^2+y^2$, $2-z=x^2 +y^2$ (con $z>0$). Solución.

Integración triple

1. Calcular la integral: $$\iiint_\Omega xcos(y) \mathrm{d}V$$ , donde $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ viene definido por los puntos en el interior de la pirámide cuya base viene formada por los vértices: $(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),$ $(0,-1,0)$; y con vértice superior $(0,0,1)$. Solución.
2. Determinar el valor de la integral:  $$\iiint_{\Omega} ye^{-(x^2+y^2+z^2)^2} \mathrm{d}V$$ , donde: $\Omega:= \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2 +y^2 +z^2 \leq 1 , y>0 \}$. Solución.
3. Hállese el volumen del sólido generado por el conjunto de puntos: $$R:= \left \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : |z| \leq \sqrt{(3-x^2) (3-y^2)} \right \}$$  Solución.
4. Hallar el valor de la integral triple: $$\iiint_\Omega \sqrt{y^2 + z^2} \mathrm{d}V$$ , donde: $\Omega := \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x\geq 0, y^2 +z^2 \leq 1 , x+y\leq 2 \}$. Solución.
5. Determínese el volumen de la región dada por las desigualdades: $$x^2 +y^2 + z^2 - R^2 \leq 0 \quad \quad x^2 + y^2 -4a(z+a) \geq 0$$ , con $R>a>0$. Solución.