Integración impropia en varias variables reales

Antes de comenzar, mencionar que la definición que trabajaremos de integración impropia está diseñada para suavizar y contextualizar mejor lo que hacemos. Esta, NO es una generalización del caso en una variable. Lo veremos claramente cuando trabajemos de nuevo la convergencia uniforme.

Para trabajar la integración impropia en varias variables, definimos lo que se conoce como sucesión básica:

(Definición, Sucesión básica para la integración impropia) Dada $f:C\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, se dice que $\{M_n \}_{n\in \mathbb{N}} \subseteq C$ es sucesión básica para la integración de $f$ en $C$ si, y solo si:

1. $M_n$ es compacto y medible Jordan, $\forall n\in \mathbb{N}$.
2. $M_{n-1} \subseteq M_n, \forall n\in \mathbb{N}$.
3. Siendo $M$ compacto y medible Jordan tal que $M\subseteq C$, entonces existe $n_0\in \mathbb{N}: M\subseteq M_{n_0}$.
4. $f$ es integrable en cada $M_n$.

A partir de la definición previa, diremos que una función $f:C\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es integrable en $C$ si existe el límite de la sucesión de integrales respecto a cualquier sucesión básica elegida, y dicho valor es único (independiente a la sucesión básica considerada). De forma que el valor de la integral se define como dicho límite: $$\int_C f := \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f$$ Si el límite no existe, o bien depende de la sucesión básica considerada, diremos que la integral no existe (puede oscilar en casos particulares). Puede resultar tedioso manejar esta definición a pelo para estudiar la integrabilidad impropia de una función. Se conoce el siguiente resultado:

(Caracterización integración impropia) Sea $f:C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y supongamos que existe una sucesión básica para la integración de $f$. Entonces:

1. Si $f\geq 0$ en $C$, entonces la función es integrable en $C$, verificando: $$\int_C f := \sup \left \{ \int_M f \text{ : } M\subseteq C \text{ compacto y medible Jordan} \right \}$$
2. Siendo $f^+ := \max \{ f,0 \}, f^- := \max \{ -f,0 \}$, entonces la integral de $f$ en $C$ existe si, y solo si: al menos una de las integrales: $\int_C f^+ , \int_C f^-$ converge. En dicho supuesto: $$\int_C f := \int_C f^+ - \int_C f^-$$ En particular, la integral de $f$ es convergente (divergente) si, y solo sí: ambas integrales de $f^+, f^-$ convergen (una de ellas diverge). Si ambas divergen, la integral de $f$ no existe.

Demostración: Definimos el valor de la integral $S:= \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f$, y al supremo mencionado como $S'$. En particular, la sucesión $\{M_n \}$ es de medida creciente y $f$ es no negativa en cada $M_n$. Por tanto, $f$ debe ser integrable verificando: $$S=\lim_{n\to +\infty} \sup \left \{ \int_{M_n} f \text{ con } n\in \mathbb{N}  \right \}$$ (el supremo se conviene infinito si la sucesión de integrales es divergente) En particular, ya que cada $M_n$ es compacto y medible Jordan: $S\leq S'$. Además, para cada $M\subseteq C$ compacto y medible Jordan, existe $n_0 \in \mathbb{N}: M \subseteq M_{n_0}$. La inclusión, dada la monotonía en la integral; se traduce en $S' \leq S$. Ergo: $S'=S$. Para justificar $(b)$, tener en cuenta que: $f=f^+ - f^-$. Dichas funciones son no negativas en $C$, y toda sucesión básica para la integración de $f$ en $C$, lo es para la integración de $f^+$ y $f^-$ (¿Por qué?). Por tanto, de acuerdo al primer apartado del teorema, existen los límites: $$\lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f^+ =: \int_C f^+ \quad \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f^- =: \int_C f^-$$ , teniendo así: $$\int_C f = \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} f = \lim_{n\to +\infty} \left ( \int_{M_n} f^+ - \int_{M_n} f^- \right ) =_{\text{Álgebra lím.}} \int_C f^+ - \int_C f^-$$ Los casos de convergencia y divergencia son muy claros de ver. Para justificar el caso de no existencia cuando ambas integrales de $f^+,f^-$ divergen, busquemos dos sucesiones básicas para la integración de $f$ que deriven su integral en valores diferentes, teniendo así que $\int_C f$ depende de la sucesión básica considerada, y por tanto no existe. Defínanse: $$C^+ := \{ \mathbf{x}\in C: f(\mathbf{x}) \geq 0 \} \quad C^- := \{ \mathbf{x}\in C: f(\mathbf{x}) <0 \}$$ Obsérvese que ambos conjuntos son no acotados en este caso. Consideramos ahora $\{A_n \}$ sucesión básica tomando: $A_1= B_1 \subseteq C^+$ tal que $\int_{B_1} f = N \in \mathbb{N}$. Ahora, tomar $B_2 \subseteq C^-$ tal que $\int_{A_2} f = - \frac{N}{2}$ y tomar $A_2 := A_1 \cup B_2$. Volvemos a considerar el signo positivo de $f$ para tomar $B_3 \subseteq C^+$ tal que $B_3\cap B_1 = \varnothing$ y $\int_{B_3} f = \frac{N}{4}$. De nuevo: $A_3 := A_2 \cup B_3$. Siguiendo la mecánica y considerando cada $A_n$ compacto y medible Jordan, logramos definir la sucesión básica $\{A_n \}$ tal que: $$\lim_{n \to +\infty} \int_{A_n} f = \lim_{n \to +\infty} \left ( N - \frac{N}{2} + \frac{N}{4} + \dotsb + (-1)^n \frac{N}{2^n} \right ) = \sum_{n=0} ^{\infty} N \left ( - \frac{1}{2} \right )^n = \frac{2N}{3}$$ Ya que $N\in \mathbb{N}$ es a elección propia, el valor de la integral no existe. De hecho, podemos generar sucesiones básicas para originar cualquier límite real que queramos.

$\square$

Es importante ver que el teorema previo es crucial a la hora de enfrentarnos a un problema, pues nos indica como va el panorama según el signo de la función integrando en el conjunto trabajado. Dicho esto, creo que sobra mencionar el criterio de comparación para la integración impropia de funciones positivas (se deriva directamente de la definición que involucra el límite). Veamos ahora acerca de la convergencia absoluta:

(Integración absoluta) Sea $f:C \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y supongamos que existe alguna sucesión básica para la integración de $f$ en $C$. Entonces: $$\int_C f \text{ es convergente } \Longleftrightarrow \int_C |f| \text{ es convergente}$$

Demostración: Es realmente un corolario del resultado previo. Observar que la integral $\int_C |f|$ siempre existe. En particular, $\int_C f$ es convergente si, y solo si: $\int_C f^+, \int_C f^-$ lo son. Como tales, ya que $|f|:= f^+ + f^-$, se consigue la convergencia de $\int_C |f|$, derivada de la igualdad: $$\int_C |f| := \lim_{n\to +\infty} \int_{M_n} |f| = \int_C f^+ + \int_C f^-$$ , con $\{M_n \}$ sucesión básica. Además, la integral de $|f|$ es divergente si, y solo si la integral de $f$ no converge (ya sea porque diverge o porque no existe).

$\square$

Aquí vemos lo que mencioné previamente: La convergencia absoluta de una integral no era equivalente a la convergencia propia de la misma en una variable. Aquí vemos que es el caso.

Terminamos trabajando algunos ejemplos básicos. Aclarar que las integrales impropias en una variable: $$\int_0 ^1 \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha} \quad \int_1 ^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^\alpha}$$ , muestran el mismo comportamiento que habíamos visto previamente. Para corroborarlo, se puede tomar partida de las sucesiones básicas definidas compacto a compacto como: $[0,1-\frac{1}{n}]; [0,n], n\in \mathbb{N}$ respectivamente; y tomar los límites correspondientes (es asegurada la convergencia ya que la función $1/x^\alpha$ es positiva). Si consideramos ahora la integral doble:

$$\iint_{B((0,0),1)} \frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{(x^2 +y^2)^\alpha}} \quad , \alpha \in \mathbb{R}$$

, esta converge si, y solo si: $\alpha <2$. De nuevo la integral existe pues el integrando es no negativo en el dominio estudiado. Consideramos la sucesión básica a considerar puede ser la definida por $M_n := B((0,0),1)- B((0,0),1/n) =$ $= \mathrm{Anillo}((0,0),1/n, 1)$. La integral impropia quedaría definida como: $$\lim_{n\to +\infty} \iint_{\mathrm{Anillo}((0,0),1/n, 1)} \frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{(x^2 +y^2)^\alpha}}$$ Haciendo un cambio a coordenadas polares, resulta: $$\lim_{n\to +\infty} \int_{0} ^{2\pi} \int_{1/n} ^1 \frac{r \cdot dr d\theta}{r^\alpha} = 2\pi \lim_{n\to +\infty} \int_{1/n} ^1 r^{1-\alpha} dr$$ Argumentando el caso finito del límite, se expone la convergencia cuando $\alpha <2$ y la divergencia cuando $\alpha \geq 2$. Si se considera la región $\mathrm{Anillo}((0,0),1,+\infty)$, pasará algo similar que en una variable (COMPROBAR :/)

Finalmente, si planteamos la integral triple:

$$\iiint_{B((0,0,0), 1)} \frac{\mathrm{d}V}{\sqrt{(x^2 + y^2 + z^2) ^\alpha}} \quad ,  \alpha \in \mathbb{R}$$

, la sucesión básica a considerar vuelve a ser conformada por anillos. Realizando un cambio a coordenadas esféricas: $$\lim_{n\to +\infty} \iiint_{\mathrm{Anillo} ((0,0,0), 1/n, 1)} \frac{\mathrm{d}V}{\sqrt{(x^2 +y^2 +z^2)^\alpha}} = \int_0 ^{2\pi} \int_0 ^\pi \int_{1/n} ^{1} \frac{r^2 \sin \varphi \cdot dr d\varphi d\theta}{r^\alpha}$$ Haciendo un estudio simplificado bajo el criterio de comparación absoluta, se logra rematar la convergencia si, y solo si: $\alpha <3$. La divergencia es el caso contrario.

Les dejo propuestos algunos ejercicios para generalizar integrales impropias en una variable algo tochas, pero que con Fubini y un poquito de ganas de vivir, se calculan al ser amplificadas a varias variables.

(EJERCICIOS PROPUESTOS)

1. Sean $f,g$ funciones escalares tales que $0\leq f(p) \leq g(p)$ en un conjunto $D\subseteq \mathbb{R}^n$. Si $f$ admite sucesión básica y la integral $\int_D g$ es convergente, probar entonces que $\int_D f$ es también convergente. Solución.
2. Sea $D$ la región triangular no acotada entre las rectas $y=0$, $y=x$. Siendo $f(x,y) = x^{-3/2} e^{y-x}$, estúdiese la convergencia de $\iint_D f$. Solución.
3. Defínase $F(x,y) = y^2 / \sqrt{(x^2 +y^2)^3}$ y sea $C$ el cuadrado unidad de vértices opuestos $(0,0), (1,1)$. Probar: $$\iint_C F(x,y) \mathrm{d}A = \ln(1+\sqrt{2})$$ Solución.
4. ¿Para qué valores de $a\in \mathbb{R}$ converge la siguiente integral? $$\iint_D \frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{1-(x^2 +y^2)} ^{5a}} \quad \text{con } D:= \left \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2 +y^2} <1 \right \}$$ Solución.
5. Estudiar el valor de la siguiente integral en función de los valores del parámetro $p$: $$\iiint_\Omega \frac{\mathrm{d}V}{\sqrt{(x^2 + y^2 +z^2) ^{p}}} \quad , \Omega:= \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : 0 < x^2 + y^2 +z^2 \leq 16 \}$$ Solución.
6. (*) [Peli: The Gifted] Siendo $\sigma \in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$. Considerar la integral impropia $$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 +y^2) / 2\sigma ^2} \mathrm{d}A$$ Obtener su valor. Usar el Teorema de Fubini para derivar: $$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-x^2 / 2\sigma ^2} \mathrm{d}x = \sqrt{2\pi} |\sigma|$$ (Observar que la integral de Gauss es un caso particular) Solución.
7. (*) Probar: $$\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-ax^2 +bx+c} \mathrm{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{exp} \left ( c+\frac{b^2}{4a} \right ) \quad , a>0$$ Solución.